Se
for o módulo do vetor que vai desde a origem até o ponto
e
for uma função ar-bitrária de
, prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o gradiente de uma função $ f® $, onde $ r $ é a distância do ponto $ (x, y, z) $ até a origem, é igual a $ \frac{\mathbf{r}}{r} \frac{d f}{d r} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com gradientes e vetores em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição $ \mathbf{r} $ em coordenadas cartesianas é dado por:
E o módulo desse vetor, que é a distância $ r $, é:
Passo 3
A função $ f® $ depende apenas de $ r $. Queremos encontrar o gradiente dessa função, que é um vetor que aponta na direção de maior variação de $ f $ e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção.
O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Passo 4
Como $ f $ depende apenas de $ r $, podemos usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais:
E de maneira semelhante para $ y $ e $ z $.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial r}{\partial x} $:
E de forma análoga:
Passo 6
Substituindo essas derivadas no gradiente, temos:
Podemos fatorar $ \frac{d f}{d r} $ e $ \frac{1}{r} $:
Passo 7
Lembrando que $ \mathbf{r} = x,\mathbf{i} + y,\mathbf{j} + z,\mathbf{k} $, podemos escrever:
Resposta
Portanto, provamos que: