Se r for o módulo do vetor que vai desde a origem até o ponto (x, y, z) e f(r) for uma função ar-bitrária de r, prove que
nabla f(r)=rr d fd r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o gradiente de uma função $ f® $, onde $ r $ é a distância do ponto $ (x, y, z) $ até a origem, é igual a $ \frac{\mathbf{r}}{r} \frac{d f}{d r} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com gradientes e vetores em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição $ \mathbf{r} $ em coordenadas cartesianas é dado por:
r
E o módulo desse vetor, que é a distância $ r $, é:
r = x,i + y,j + z,k

Passo 3

A função $ f® $ depende apenas de $ r $. Queremos encontrar o gradiente dessa função, que é um vetor que aponta na direção de maior variação de $ f $ e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção.
O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
f(r)

Passo 4

Como $ f $ depende apenas de $ r $, podemos usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais:
f
E de maneira semelhante para $ y $ e $ z $.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial r}{\partial x} $:
partial rpartial x
E de forma análoga:
r = raizx^2 + y^2 + z^2 implies partial rpartial x = xr

Passo 6

Substituindo essas derivadas no gradiente, temos:
nabla f = d fd r cdot xr,i + d fd r cdot yr,j + d fd r cdot zr,k
Podemos fatorar $ \frac{d f}{d r} $ e $ \frac{1}{r} $:
d fd r

Passo 7

Lembrando que $ \mathbf{r} = x,\mathbf{i} + y,\mathbf{j} + z,\mathbf{k} $, podemos escrever:
r = x,i + y,j + z,k

Resposta

Portanto, provamos que:
nabla f(r) = rr d fd r

Exercícios relacionados