Se r \neq 1, mostre que, para qualquer inteiro positivo n,
a+a r+a r^{2}+\cdots+a r^{n}=a \frac{r^{n+1}-1}{r-1}

Passo 1

Vamos identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá três quantidades: a, r e n.
    • a é o primeiro termo da soma (um número fixo).
    • r é a razão comum entre termos (um número tal que r \neq 1).
    • n é um inteiro positivo que indica o maior expoente presente na soma.
  • A soma que devemos mostrar igual a uma expressão fechada é
a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n}.
  • O objetivo é provar que, sob a hipótese \,r \neq 1, para todo inteiro positivo n vale
a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n}=a \frac{r^{n+1}-1}{r-1}.

Passo 2

Vou chamar a soma dada de S para manipular com clareza:
S = a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n}.
Explicando: essa soma tem (n+1) termos. Cada termo, a partir do primeiro, é obtido multiplicando o anterior por r. Por isso é chamada de soma geométrica finita.

Passo 3

Uma ideia padrão e muito eficiente para somas geométricas é multiplicar S por r e comparar com S. Faço isso:
rS = a r + a r^{2} + a r^{3} + \cdots + a r^{n} + a r^{n+1}.
Note que a expressão de rS é a mesma sequência de termos de S deslocada uma posição à direita, e aparece o termo extra a r^{n+1} no final.

Passo 4

Agora subtraio as duas igualdades (faço S - rS) para que muitos termos se cancelem:
S - rS = \bigl(a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n}\bigr) - \bigl(a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n} + a r^{n+1}\bigr).
Na subtração, todos os termos intermediários a r, a r^{2},\dots,a r^{n} se anulam, sobrando apenas:
S - rS = a - a r^{n+1}.

Passo 5

No lado esquerdo posso fatorar S:
S(1 - r) = a(1 - r^{n+1}).
Aqui usei fatoração simples: S - rS = S(1-r). No lado direito, fatorizei a em comum: a - a r^{n+1} = a(1-r^{n+1}).

Passo 6

Como o enunciado impõe r \neq 1, o número 1-r é diferente de zero, então posso dividir ambos os lados da igualdade por 1-r. Fazendo isso obtenho:
S = a\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}.
Essa forma é equivalente à forma pedida no enunciado. Multiplicando numerador e denominador por -1 obtemos a forma usual:
S = a\frac{r^{n+1}-1}{r-1}.
Pronto — derivamos a fórmula desejada.

Passo 7

Só para reforçar a compreensão com um pequeno exemplo numérico (sem pular etapas): tome a=2, r=3, n=2. A soma direta é
2 + 2\cdot3 + 2\cdot3^{2} = 2 + 6 + 18 = 26.
A fórmula dá
2\frac{3^{3}-1}{3-1} = 2\frac{27-1}{2} = 2\cdot13 = 26,
conferindo que a fórmula funciona nesse caso concreto.

Passo 8

Se quiser, há também uma segunda verificação por indução matemática: verifica-se o caso base n=1 e depois assume-se verdadeiro para n e prova-se para n+1. Esse procedimento confirma que a fórmula vale para todo inteiro positivo n. (A derivação por multiplicação e subtração que fiz nos passos anteriores já é a prova clássica.)

Resposta

a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n}=a \frac{r^{n+1}-1}{r-1}

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