Se
, mostre que, para qualquer inteiro positivo
,
Passo 1
Vamos identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá três quantidades:
, e . -
é o primeiro termo da soma (um número fixo). -
é a razão comum entre termos (um número tal que ). -
é um inteiro positivo que indica o maior expoente presente na soma.
-
- A soma que devemos mostrar igual a uma expressão fechada é
- O objetivo é provar que, sob a hipótese
, para todo inteiro positivo vale
Passo 2
Vou chamar a soma dada de
para manipular com clareza:
Explicando: essa soma tem
termos. Cada termo, a partir do primeiro, é obtido multiplicando o anterior por
. Por isso é chamada de soma geométrica finita.
Passo 3
Uma ideia padrão e muito eficiente para somas geométricas é multiplicar
por
e comparar com
. Faço isso:
Note que a expressão de
é a mesma sequência de termos de
deslocada uma posição à direita, e aparece o termo extra
no final.
Passo 4
Agora subtraio as duas igualdades (faço
) para que muitos termos se cancelem:
Na subtração, todos os termos intermediários
se anulam, sobrando apenas:
Passo 5
No lado esquerdo posso fatorar
:
Aqui usei fatoração simples:
. No lado direito, fatorizei
em comum:
.
Passo 6
Como o enunciado impõe
, o número
é diferente de zero, então posso dividir ambos os lados da igualdade por
. Fazendo isso obtenho:
Essa forma é equivalente à forma pedida no enunciado. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos a forma usual:
Pronto — derivamos a fórmula desejada.
Passo 7
Só para reforçar a compreensão com um pequeno exemplo numérico (sem pular etapas): tome
,
,
. A soma direta é
A fórmula dá
conferindo que a fórmula funciona nesse caso concreto.
Passo 8
Se quiser, há também uma segunda verificação por indução matemática: verifica-se o caso base
e depois assume-se verdadeiro para
e prova-se para
. Esse procedimento confirma que a fórmula vale para todo inteiro positivo
. (A derivação por multiplicação e subtração que fiz nos passos anteriores já é a prova clássica.)