Questão: Calcule o fluxo do campo vetorial
atavés da superfície do cilindro
delimitado pelos planos
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Campo vetorial:
. - Superfície: o cilindro definido por
delimitado pelos planos e . Ou seja, a superfície é a superfície fechada do sólido cilíndrico de raio e altura (inclui a parte lateral e as tampas em ). - O que pedir: calcular o fluxo de
através dessa superfície fechada, com a orientação usual (normal apontando para fora do sólido).
Passo 2
Escolha do método e enunciado do teorema usado.
- Como estamos lidando com o fluxo através de uma superfície fechada, a forma mais simples é usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
- Enunciado do Teorema da Divergência (em palavras): o fluxo de um campo vetorial
através da superfície fechada que envolve um volume é igual à integral tripla sobre da divergência de . - Fórmula do teorema (apresentada isoladamente):
- Aqui
é o versor normal exterior à superfície, é o elemento de área da superfície, e é o elemento de volume. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes de .
Justificativa sucinta da escolha: aplicar o teorema transforma uma integral de superfície complicada (três pedaços: lateral + duas tampas) em uma integral de volume simples, especialmente porque a divergência de
será uma constante (isso simplifica bastante).
Passo 3
Calcular a divergência de
.
- Definição:
, onde são as componentes de . - Para
temos , , . - Calculando as derivadas:
- Portanto, a divergência é
Observação: é muito prático quando a divergência é constante, porque ela pode sair da integral.
Passo 4
Determinar o volume
do cilindro (região sobre a qual vamos integrar).
- O cilindro tem raio
(pois ) e é delimitado verticalmente por e . Logo a altura é
- A área da base circular é
. - O volume do cilindro é área da base vezes altura:
Passo 5
Calcular a integral tripla e concluir o fluxo.
- Pelo Teorema da Divergência:
- Como
é constante, a integral fica
- Substituindo o volume calculado:
Breve interpretação: o campo
aponta radialmente para fora e cresce linearmente com a distância; a divergência constante positiva significa que há “fonte” uniforme no volume, resultando em fluxo positivo saindo pela superfície. Você pode conferir que o resultado é positivo como esperado.