5^{a} Questão: Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=x \hat{\imath}+y \hat{\jmath}+z \hat{k} atavés da superfície do cilindro x^{2}+y^{2}=1 delimitado pelos planos z=-1, z=1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}.
  • Superfície: o cilindro definido por x^{2}+y^{2}=1 delimitado pelos planos z=-1 e z=1. Ou seja, a superfície é a superfície fechada do sólido cilíndrico de raio 1 e altura 2 (inclui a parte lateral e as tampas em z=\pm1).
  • O que pedir: calcular o fluxo de \vec{F} através dessa superfície fechada, com a orientação usual (normal apontando para fora do sólido).

Passo 2

Escolha do método e enunciado do teorema usado.
  • Como estamos lidando com o fluxo através de uma superfície fechada, a forma mais simples é usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss).
  • Enunciado do Teorema da Divergência (em palavras): o fluxo de um campo vetorial \vec{F} através da superfície fechada \partial V que envolve um volume V é igual à integral tripla sobre V da divergência de \vec{F}.
  • Fórmula do teorema (apresentada isoladamente):
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
  • Aqui \hat{n} é o versor normal exterior à superfície, dS é o elemento de área da superfície, e dV é o elemento de volume. A divergência \nabla\cdot\vec{F} é a soma das derivadas parciais das componentes de \vec{F}.
Justificativa sucinta da escolha: aplicar o teorema transforma uma integral de superfície complicada (três pedaços: lateral + duas tampas) em uma integral de volume simples, especialmente porque a divergência de \vec{F} será uma constante (isso simplifica bastante).

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}.
  • Definição: \nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}, onde F_x,F_y,F_z são as componentes de \vec{F}.
  • Para \vec{F}(x,y,z)=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k} temos F_x=x, F_y=y, F_z=z.
  • Calculando as derivadas:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial z}=1.
  • Portanto, a divergência é
\nabla\cdot\vec{F}=1+1+1=3.
Observação: é muito prático quando a divergência é constante, porque ela pode sair da integral.

Passo 4

Determinar o volume V do cilindro (região sobre a qual vamos integrar).
  • O cilindro tem raio r=1 (pois x^{2}+y^{2}=1) e é delimitado verticalmente por z=-1 e z=1. Logo a altura é
h=1-(-1)=2.
  • A área da base circular é \pi r^{2}=\pi\cdot 1^{2}=\pi.
  • O volume do cilindro é área da base vezes altura:
\text{Vol}(V)=\pi\cdot h=\pi\cdot 2=2\pi.

Passo 5

Calcular a integral tripla e concluir o fluxo.
  • Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
  • Como \nabla\cdot\vec{F}=3 é constante, a integral fica
\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}dV=3\cdot \text{Vol}(V).
  • Substituindo o volume calculado:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=3\cdot 2\pi=6\pi.
Breve interpretação: o campo \vec{F} aponta radialmente para fora e cresce linearmente com a distância; a divergência constante positiva significa que há “fonte” uniforme no volume, resultando em fluxo positivo saindo pela superfície. Você pode conferir que o resultado é positivo como esperado.

Resposta

6\pi

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