3^{a} Questão: Considere uma superfície, S, parametrizada pela equação vetorial,
r(u, v)=R(u) \cos (v) \hat{\imath}+R(u) \sin (v) \hat{\jmath}+u \hat{k}
onde (u, v) \in D=[0,1] \times[0,2 \pi].
(a) Calcule r_{u}, r_{v},\left|r_{u} \times r_{v}\right| e a expressão para a área de S.
(b) Supondo que R(u)=u, calcule a integral de superfície de f(x, y, z)=z na superfície S do item (a).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • A parametrização da superfície S é
r(u,v)=R(u)\cos(v)\,\hat{\imath}+R(u)\sin(v)\,\hat{\jmath}+u\,\hat{k},
com (u,v)\in D=[0,1]\times[0,2\pi].
  • O enunciado pede:
    (a) calcular r_{u}, r_{v}, \left|r_{u}\times r_{v}\right| e escrever a expressão para a área de S;
    (b) supondo R(u)=u, calcular a integral de superfície de f(x,y,z)=z sobre S.
Observação importante retirada do enunciado: a coordenada z na parametrização vale u (isto será útil no item (b)). Não vou resolver nada ainda, só identifiquei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais r_{u} e r_{v}.
Primeiro escrevo r(u,v) em componentes:
r(u,v)=\bigl(R(u)\cos v,\;R(u)\sin v,\;u\bigr).
Derivo em relação a u (mantendo v fixo):
r_{u}(u,v)=\bigl(R'(u)\cos v,\;R'(u)\sin v,\;1\bigr).
Derivo em relação a v (mantendo u fixo):
r_{v}(u,v)=\bigl(-R(u)\sin v,\;R(u)\cos v,\;0\bigr).
Aqui R'(u)=\dfrac{dR}{du}(u). Essas são as expressões pedidas para r_u e r_v.

Passo 3

Calcular o produto vetorial r_{u}\times r_{v}. Vou usar a fórmula determinantal componente a componente. Se r_u=(a_1,a_2,a_3) e r_v=(b_1,b_2,b_3) então
r_u\times r_v=\bigl(a_2 b_3-a_3 b_2,\;-(a_1 b_3-a_3 b_1),\;a_1 b_2-a_2 b_1\bigr).
Substituindo a_1=R'\cos v,\;a_2=R'\sin v,\;a_3=1 e b_1=-R\sin v,\;b_2=R\cos v,\;b_3=0:
  • Componente \hat{\imath}:
a_2 b_3-a_3 b_2 = R'(u)\sin v\cdot 0 - 1\cdot R(u)\cos v = -R(u)\cos v.
  • Componente \hat{\jmath}:
-(a_1 b_3-a_3 b_1) = -\bigl(R'(u)\cos v\cdot 0 - 1\cdot(-R(u)\sin v)\bigr) = -\bigl(0+R(u)\sin v\bigr) = -R(u)\sin v.
  • Componente \hat{k}:
a_1 b_2-a_2 b_1 = R'(u)\cos v\cdot R(u)\cos v - R'(u)\sin v\cdot(-R(u)\sin v) = R'(u)R(u)\bigl(\cos^2 v+\sin^2 v\bigr)=R(u)R'(u).
Portanto
r_u\times r_v = \bigl(-R(u)\cos v,\;-R(u)\sin v,\;R(u)R'(u)\bigr).

Passo 4

Calcular a norma \left|r_u\times r_v\right| e simplificar.
A norma é
\left|r_u\times r_v\right| =\sqrt{\bigl(-R\cos v\bigr)^2+\bigl(-R\sin v\bigr)^2+\bigl(RR'\bigr)^2}.
Agrupando termos:
\left|r_u\times r_v\right| =\sqrt{R(u)^2\cos^2 v + R(u)^2\sin^2 v + R(u)^2\bigl(R'(u)\bigr)^2} =\sqrt{R(u)^2\bigl(1+\bigl(R'(u)\bigr)^2\bigr)}.
Extraindo R(u)^2 da raiz:
\left|r_u\times r_v\right|=\lvert R(u)\rvert\sqrt{1+\bigl(R'(u)\bigr)^2}.
Como u\in[0,1] costuma-se ter R(u)\ge 0 em parametrizações radiais, mas a forma correta em geral leva o valor absoluto \lvert R(u)\rvert.
A área da superfície S é dada pela integral de superfície elemento de área \,dS=\left|r_u\times r_v\right|\,du\,dv. Assim a área é
\operatorname{Area}(S)=\iint_{D}\left|r_u\times r_v\right|\,du\,dv =\int_{v=0}^{2\pi}\int_{u=0}^{1}\lvert R(u)\rvert\sqrt{1+\bigl(R'(u)\bigr)^2}\,du\,dv.
Como a integrando não depende de v, pode-se integrar em v imediatamente:
\operatorname{Area}(S)=2\pi\int_{0}^{1}\lvert R(u)\rvert\sqrt{1+\bigl(R'(u)\bigr)^2}\,du.
Se R(u)\ge 0 para u\in[0,1], isso fica
\operatorname{Area}(S)=2\pi\int_{0}^{1}R(u)\sqrt{1+\bigl(R'(u)\bigr)^2}\,du.

Passo 5

Preparar a integral de superfície de f(x,y,z)=z quando R(u)=u.
Regra: para uma função escalar f(x,y,z) e parametrização r(u,v),
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} f\bigl(r(u,v)\bigr)\,\left|r_u\times r_v\right|\,du\,dv.
No nosso caso f(x,y,z)=z e pela parametrização z=u. Logo
f\bigl(r(u,v)\bigr)=u.
Agora imponho R(u)=u. Então R'(u)=1. Substituo em \left|r_u\times r_v\right| obtido no passo 4:
\left|r_u\times r_v\right|=\lvert u\rvert\sqrt{1+1^2}=\lvert u\rvert\sqrt{2}.
Como u\in[0,1], \lvert u\rvert=u. Portanto
\left|r_u\times r_v\right|=u\sqrt{2}.

Passo 6

Calcular explicitamente a integral dupla para R(u)=u.
A integral de superfície vira
\iint_{S} z\,dS = \int_{v=0}^{2\pi}\int_{u=0}^{1} \bigl(u\bigr)\,\bigl(u\sqrt{2}\bigr)\,du\,dv = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} u^2\sqrt{2}\,du\,dv.
Calculo a integral em u:
\int_{0}^{1} u^2\sqrt{2}\,du = \sqrt{2}\int_{0}^{1} u^2\,du = \sqrt{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Agora integro em v (de 0 a 2\pi):
\iint_{S} z\,dS = \int_{0}^{2\pi} \frac{\sqrt{2}}{3}\,dv = \frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 2\pi = \frac{2\pi\sqrt{2}}{3}.

Resposta

(a) r_{u}(u,v)=\bigl(R'(u)\cos v,\;R'(u)\sin v,\;1\bigr)
(a) r_{v}(u,v)=\bigl(-R(u)\sin v,\;R(u)\cos v,\;0\bigr)
(a) \left|r_{u}\times r_{v}\right|=\lvert R(u)\rvert\sqrt{1+\bigl(R'(u)\bigr)^2} e \displaystyle \operatorname{Area}(S)=2\pi\int_{0}^{1}\lvert R(u)\rvert\sqrt{1+\bigl(R'(u)\bigr)^2}\,du
(b) \displaystyle \iint_{S} z\,dS=\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}

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