Questão: Considere uma superfície,
, parametrizada pela equação vetorial,
onde
.
(a) Calcule
e a expressão para a área de
.
(b) Supondo que
, calcule a integral de superfície de
na superfície
do item (a).
(a) Calcule
(b) Supondo que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
- A parametrização da superfície
é
com
.
- O enunciado pede:
(a) calculare escrever a expressão para a área de ;
(b) supondo, calcular a integral de superfície de sobre .
Observação importante retirada do enunciado: a coordenada
na parametrização vale
(isto será útil no item (b)). Não vou resolver nada ainda, só identifiquei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
e
.
Primeiro escrevo
em componentes:
Derivo em relação a
(mantendo
fixo):
Derivo em relação a
(mantendo
fixo):
Aqui
. Essas são as expressões pedidas para
e
.
Passo 3
Calcular o produto vetorial
. Vou usar a fórmula determinantal componente a componente. Se
e
então
Substituindo
e
:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto
Passo 4
Calcular a norma
e simplificar.
A norma é
Agrupando termos:
Extraindo
da raiz:
Como
costuma-se ter
em parametrizações radiais, mas a forma correta em geral leva o valor absoluto
.
A área da superfície
é dada pela integral de superfície elemento de área
. Assim a área é
Como a integrando não depende de
, pode-se integrar em
imediatamente:
Se
para
, isso fica
Passo 5
Preparar a integral de superfície de
quando
.
Regra: para uma função escalar
e parametrização
,
No nosso caso
e pela parametrização
. Logo
Agora imponho
. Então
. Substituo em
obtido no passo 4:
Como
,
. Portanto
Passo 6
Calcular explicitamente a integral dupla para
.
A integral de superfície vira
Calculo a integral em
:
Agora integro em
(de
a
):
Resposta
(a)
(a)
(a) e
(b)
(a)
(a)
(b)