Se R é um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resistência interna de r ohms, então a potência (em watts) no resistor externo é
P=\frac{E^{2} R}{(R+r)^{2}}
Se E e r forem fixados, mas R variar, qual o valor mínimo da potência?
(a) r^{2}
(b) r
(c) E r^{2}
(d) \frac{E}{4 r}
Passo 1
O enunciado dá a potência dissipada no resistor externo R como
P=\frac{E^{2}R}{(R+r)^{2}},
onde E e r são constantes e R varia. O enunciado pergunta qual é o valor mínimo da potência quando R varia. As alternativas fornecidas são:
(a) r^{2}
(b) r
(c) E r^{2}
(d) \dfrac{E}{4r}.
Informações relevantes extraídas:
E é constante (tensão da pilha).
r é constante (resistência interna, assumida >0).
R é a variável (assumimos R\ge0, pois resistências são não negativas).
Função objetivo P(R)=\dfrac{E^{2}R}{(R+r)^{2}}.
Passo 2
Estratégia: para encontrar extremos de uma função real de uma variável (aqui P(R)), o procedimento padrão é:
Calcular a derivada \dfrac{dP}{dR}.
Encontrar os pontos R onde \dfrac{dP}{dR}=0 (pontos críticos).
Usar o teste da segunda derivada ou analisar comportamento nas extremidades do domínio para classificar mínimo/máximo.
Vou explicar rapidamente a ideia de derivada: a derivada \dfrac{dP}{dR} mede a taxa de variação instantânea de P quando R muda. Zeros da derivada são pontos onde a inclinação da curva é zero — candidatos a máximos ou mínimos.
Passo 3
Calcular a derivada \dfrac{dP}{dR} passo a passo. Temos uma razão de funções; aplicamos a regra do quociente. Vou tratar a constante E^{2} fora do cálculo:
P(R)=E^{2}\cdot \frac{R}{(R+r)^{2}}.
Seja u(R)=R e v(R)=(R+r)^{2}. Então \dfrac{d}{dR}\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Calculando:
Agora aplicar o teste da segunda derivada para classificar. Vamos derivar \dfrac{dP}{dR}=E^{2}(r-R)(R+r)^{-3}. Diferenciando (faço o cálculo de forma direta e simples):
Portanto o valor extremo obtido (máximo) é \dfrac{E^{2}}{4r}.
Agora analisar o comportamento nas extremidades do domínio R\ge0:
Quando R\to 0^{+}, temos P\to 0.
Quando R\to +\infty, a expressão se comporta como P\sim E^{2}R/R^{2}=E^{2}/R\to 0.
Logo a potência pode ficar arbitrariamente próxima de 0 (tanto fazendo R muito pequeno quanto muito grande). Assim o infimum (valor mínimo limite) de P é 0, embora P nunca seja negativo para R\ge0.
Observação sobre as alternativas: nenhuma das alternativas (a)–(c) é igual a 0. A alternativa (d) dada é \dfrac{E}{4r}, que difere do valor correto \dfrac{E^{2}}{4r} por um quadrado em E. Pelo raciocínio acima, o ponto R=r dá o valor máximo \dfrac{E^{2}}{4r}. Se o objetivo da questão era encontrar o máximo (versão comum deste problema), a resposta correta seria a alternativa correspondente ao valor \dfrac{E^{2}}{4r} (a alternativa (d) parece pretender isso, mas contém um erro de digitação ao omitir o quadrado em E).