Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-x}-x\right)
(a) \frac{-2}{3}
(b) \frac{-1}{2}
(c) \frac{1}{2}
(d) \frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}-x}-x\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável vai para +\infty.
  • A expressão é \sqrt{x^{2}-x}-x.
  • Se fizermos substituição direta, cada termo cresce como x, então a forma é do tipo \infty-\infty, uma forma indeterminada (não basta substituir para concluir o valor do limite).

Passo 2

Por que a forma \infty-\infty é problemática?
Porque duas grandezas que divergem podem ter uma diferença que converge para qualquer número finito (ou diverge). Para resolver essas situações usamos um truque algébrico que elimina a indeterminação sem perder equivalência: multiplicar por uma expressão conjugada.

Passo 3

Multiplicamos por \dfrac{\sqrt{x^{2}-x}+x}{\sqrt{x^{2}-x}+x} (a conjugada) para racionalizar:
\sqrt{x^{2}-x}-x = \left(\sqrt{x^{2}-x}-x\right)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-x}+x}{\sqrt{x^{2}-x}+x} = \frac{(\sqrt{x^{2}-x})^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-x}+x}.
Calculando o numerador:
(\sqrt{x^{2}-x})^{2}-x^{2}=(x^{2}-x)-x^{2}=-x.
Portanto
\sqrt{x^{2}-x}-x=\frac{-x}{\sqrt{x^{2}-x}+x}.

Passo 4

Agora simplificamos dividindo numerador e denominador por x. Primeiro escrevemos \sqrt{x^{2}-x} de forma conveniente para grandes x>0:
\sqrt{x^{2}-x}=x\sqrt{1-\frac{1}{x}}.
Substituindo na fração e dividindo por x:
\frac{-x}{\sqrt{x^{2}-x}+x} = \frac{-x}{x\sqrt{1-\tfrac{1}{x}}+x} = \frac{-1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x}}+1}.

Passo 5

Tomamos o limite quando x\to\infty. Como \tfrac{1}{x}\to 0 e a função raiz quadrada é contínua em torno de 1, temos
\sqrt{1-\tfrac{1}{x}}\to \sqrt{1}=1.
Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x}}+1}=\frac{-1}{1+1}=\frac{-1}{2}.

Passo 6

Intuição alternativa (opcional, só para reforçar): para x grande,
\sqrt{x^{2}-x}=x\sqrt{1-\tfrac{1}{x}}\approx x\left(1-\tfrac{1}{2x}\right)=x-\tfrac{1}{2},
então \sqrt{x^{2}-x}-x\approx -\tfrac{1}{2}, o que confirma o resultado.

Resposta

(b) \dfrac{-1}{2}

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