Calcule
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável vai para
. - A expressão é
. - Se fizermos substituição direta, cada termo cresce como
, então a forma é do tipo , uma forma indeterminada (não basta substituir para concluir o valor do limite).
Passo 2
Por que a forma
é problemática?
Porque duas grandezas que divergem podem ter uma diferença que converge para qualquer número finito (ou diverge). Para resolver essas situações usamos um truque algébrico que elimina a indeterminação sem perder equivalência: multiplicar por uma expressão conjugada.
Porque duas grandezas que divergem podem ter uma diferença que converge para qualquer número finito (ou diverge). Para resolver essas situações usamos um truque algébrico que elimina a indeterminação sem perder equivalência: multiplicar por uma expressão conjugada.
Passo 3
Multiplicamos por
(a conjugada) para racionalizar:
Calculando o numerador:
Portanto
Passo 4
Agora simplificamos dividindo numerador e denominador por
. Primeiro escrevemos
de forma conveniente para grandes
:
Substituindo na fração e dividindo por
:
Passo 5
Tomamos o limite quando
. Como
e a função raiz quadrada é contínua em torno de
, temos
Logo
Passo 6
Intuição alternativa (opcional, só para reforçar): para
grande,
então
, o que confirma o resultado.
Resposta
(b)