Calcule
(a) -1
(b) 1
(c) 0
(d)
(b) 1
(c) 0
(d)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão envolve
. - O numerador é
, definido para . - O denominador é
. - O objetivo é decidir qual alternativa entre (a)
, (b) , (c) e (d) é a correta.
Passo 2
Vamos ver o comportamento das partes ao levar
a infinito:
-
quando . - Então
quando . - O denominador
.
Portanto a forma da fração é do tipo
, que é uma indeterminação. Precisamos de um método para resolver esse tipo de indeterminação.
Passo 3
Um método padrão para tratar indeterminações do tipo
é a Regra de L’Hôpital. Vou lembrar a versão útil:
Se e
são funções diferenciáveis em um intervalo
(exceto possivelmente em pontos isolados), e
Se
e se existir
então
(se a segunda limite existir ou for
). Essa regra reduz a indeterminação diferenciando numerador e denominador.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital ao nosso caso: tome
Calcule as derivadas passo a passo.
Derivada do numerador usando regra da cadeia:
- Derivada de
em relação a é . - Aqui
, cuja derivada em relação a é .
Portanto
Derivada do denominador:
Pelo L’Hôpital,
Passo 5
Agora calculamos
Para ver que esse limite vale
, observe que para
temos
, então
Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze), segue que
Passo 6
Concluímos, pela aplicação da Regra de L’Hôpital e pelo passo anterior, que
Intuição rápida:
cresce muito mais lentamente que
; dividir uma função que cresce muito devagar por uma que cresce rápido tende a
.
Resposta
(c) 0