Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x}
(a) -1
(b) 1
(c) 0
(d) \infty

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(\ln(x))}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão envolve x\to\infty.
  • O numerador é \ln(\ln(x)), definido para x>1.
  • O denominador é x.
  • O objetivo é decidir qual alternativa entre (a) -1, (b) 1, (c) 0 e (d) \infty é a correta.

Passo 2

Vamos ver o comportamento das partes ao levar x a infinito:
  • \ln(x)\to\infty quando x\to\infty.
  • Então \ln(\ln(x))\to\infty quando x\to\infty.
  • O denominador x\to\infty.
Portanto a forma da fração é do tipo \infty/\infty, que é uma indeterminação. Precisamos de um método para resolver esse tipo de indeterminação.

Passo 3

Um método padrão para tratar indeterminações do tipo \infty/\infty é a Regra de L’Hôpital. Vou lembrar a versão útil:
Se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis em um intervalo (a,\infty) (exceto possivelmente em pontos isolados), e
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty,
e se existir
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)},
então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
(se a segunda limite existir ou for \pm\infty). Essa regra reduz a indeterminação diferenciando numerador e denominador.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital ao nosso caso: tome
f(x)=\ln(\ln(x)),\qquad g(x)=x.
Calcule as derivadas passo a passo.
Derivada do numerador usando regra da cadeia:
  • Derivada de \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}.
  • Aqui u=\ln(x), cuja derivada em relação a x é \dfrac{1}{x}.
    Portanto
f'(x)=\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln(x)}.
Derivada do denominador:
g'(x)=1.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln(x))}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\ln(x)}.

Passo 5

Agora calculamos
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\ln(x)}.
Para ver que esse limite vale 0, observe que para x>e temos \ln(x)>1, então
x\ln(x)>x \quad\Rightarrow\quad 0<\frac{1}{x\ln(x)}<\frac{1}{x}.
Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze), segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\ln(x)}=0.

Passo 6

Concluímos, pela aplicação da Regra de L’Hôpital e pelo passo anterior, que
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln(x))}{x}=0.
Intuição rápida: \ln(\ln(x)) cresce muito mais lentamente que x; dividir uma função que cresce muito devagar por uma que cresce rápido tende a 0.

Resposta

(c) 0

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