Para r=\sin \theta, mostre que a tangente em \theta=0 é vertical.

Passo 1

O enunciado dá a curva polar r=\sin\theta e pede para analisar a tangente no ponto correspondente a \theta=0. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação da curva em coordenadas polares é r(\theta)=\sin\theta.
  • O ponto a estudar é o ponto gerado quando \theta=0. Nesse ponto \,r(0)=\sin 0=0, ou seja, trata-se do ponto na origem (0,0) no sistema cartesiano.
    O objetivo explícito é concluir se a tangente nesse ponto é vertical (ou não).

Passo 2

Primeiro, lembrar como passar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas (fórmulas básicas):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Substituindo r=\sin\theta obtemos equações paramétricas em termos de \theta:
x(\theta)=\sin\theta\cos\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta\sin\theta.
Podemos simplificar usando identidades trigonométricas:
x(\theta)=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta),\qquad y(\theta)=\sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr).
Essas são as expressões paramétricas que vamos derivar para obter a inclinação da tangente.

Passo 3

Como obter a inclinação da tangente para uma curva dada parametricamente por x(\theta),y(\theta)?
  • Para curvas paramétricas, a inclinação da reta tangente (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}},
desde que \dfrac{dx}{d\theta}\neq 0. Se \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq0, então a tangente é vertical (inclinação infinita).
Também existe uma fórmula direta em coordenadas polares que vale a mesma coisa; para r(\theta) ela é
\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta},
onde r'(\theta)=\dfrac{dr}{d\theta}. Vou usar a via paramétrica (mesma coisa, mais direta aqui).

Passo 4

Calcular as derivadas \dfrac{dx}{d\theta} e \dfrac{dy}{d\theta} a partir das expressões simplificadas:
x(\theta)=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{d\theta}=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2\theta)=\cos(2\theta).
y(\theta)=\sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr)\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{d\theta}=\tfrac{1}{2}\cdot 2\sin(2\theta)=\sin(2\theta).
Portanto, para \theta em que \dfrac{dx}{d\theta}\neq0,
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)}=\tan(2\theta).

Passo 5

Agora avaliar a inclinação no ponto \theta=0. Substituindo:
\frac{dx}{d\theta}\Big|_{\theta=0}=\cos(0)=1,\qquad \frac{dy}{d\theta}\Big|_{\theta=0}=\sin(0)=0.
Logo
\frac{dy}{dx}\Big|_{\theta=0}=\tan(0)=0.
Interpretação: a inclinação da reta tangente no ponto correspondente a \theta=0 é 0, ou seja, a tangente é horizontal, não vertical.

Passo 6

Explicar em palavras e com um pequeno desenvolvimento assintótico para fixar a ideia: para \theta pequeno,
r=\sin\theta\approx \theta,\quad \cos\theta\approx1,\quad\sin\theta\approx\theta,
então os pontos têm coordenadas aproximadas
x=r\cos\theta\approx \theta,\qquad y=r\sin\theta\approx \theta^{2}.
Isso mostra que, perto da origem, a curva se comporta como y\approx x^{2}, que tem tangente horizontal na origem (derivada 0). Assim outra forma de ver é: a curva chega ao origem com comportamento parabólico — tangente horizontal.

Passo 7

Conclusão e observação sobre a afirmação pedida: a computação direta mostra que a tangente em \theta=0 tem inclinação 0 (horizontal). A condição para tangente vertical seria \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq0 (ou, na fórmula polar, denominador zero e numerador não nulo). Aqui \dfrac{dx}{d\theta}(0)=1\neq0, portanto a tangente não é vertical.

Resposta

A tangente em \theta=0 tem inclinação 0 (é horizontal), logo não é vertical.

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