Para r=\sin \theta, mostre que a tangente em \theta=0 é vertical.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar r=\sin\theta e pede para analisar a tangente no ponto correspondente a \theta=0. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação da curva em coordenadas polares é r(\theta)=\sin\theta.
O ponto a estudar é o ponto gerado quando \theta=0. Nesse ponto \,r(0)=\sin 0=0, ou seja, trata-se do ponto na origem (0,0) no sistema cartesiano.
O objetivo explícito é concluir se a tangente nesse ponto é vertical (ou não).
Passo 2
Primeiro, lembrar como passar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas (fórmulas básicas):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Substituindo r=\sin\theta obtemos equações paramétricas em termos de \theta:
desde que \dfrac{dx}{d\theta}\neq 0. Se \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq0, então a tangente é vertical (inclinação infinita).
Também existe uma fórmula direta em coordenadas polares que vale a mesma coisa; para r(\theta) ela é
Isso mostra que, perto da origem, a curva se comporta como y\approx x^{2}, que tem tangente horizontal na origem (derivada 0). Assim outra forma de ver é: a curva chega ao origem com comportamento parabólico — tangente horizontal.
Passo 7
Conclusão e observação sobre a afirmação pedida: a computação direta mostra que a tangente em \theta=0 tem inclinação 0 (horizontal). A condição para tangente vertical seria \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq0 (ou, na fórmula polar, denominador zero e numerador não nulo). Aqui \dfrac{dx}{d\theta}(0)=1\neq0, portanto a tangente não é vertical.
Resposta
A tangente em \theta=0 tem inclinação 0 (é horizontal), logo não é vertical.