Calcule a inclinação da tangente de r=2 (círculo) em \theta=\pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a inclinação da tangente à curva dada em coordenadas polares por r=2 no ponto onde \theta=\pi/4.
Informações fornecidas:
  • A curva é r=2, ou seja, um círculo de raio 2 centrado na origem (isso é uma informação sobre a equação).
  • O ponto de interesse é o ponto com coordenada polar \theta=\pi/4.
    Nada mais foi pedido.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir polar para cartesiano — isso facilita visualizar o ponto e calcular derivadas. As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Aplicando a nossa curva r=2 obtemos funções de \theta:
x(\theta)=2\cos\theta,\qquad y(\theta)=2\sin\theta.
Agora encontramos as coordenadas do ponto em \theta=\pi/4. Lembrando que \cos\!\left(\pi/4\right)=\sin\!\left(\pi/4\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
x\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, \qquad y\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Portanto o ponto é \bigl(\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr).

Passo 3

Para obter a inclinação da tangente em curvas parametrizadas por \theta usamos a regra da cadeia: se x=x(\theta) e y=y(\theta), então a derivada \dfrac{dy}{dx} (inclinação da tangente) é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}},
desde que \dfrac{dx}{d\theta}\neq 0.
Isso vem direto da regra da cadeia porque \dfrac{dy}{d\theta}=(dy/dx)(dx/d\theta), então isolando dy/dx obtemos a expressão acima. Aqui \theta atua como parâmetro.

Passo 4

Calcamos as derivadas dx/d\theta e dy/d\theta a partir de x(\theta)=2\cos\theta e y(\theta)=2\sin\theta:
\frac{dx}{d\theta} = -2\sin\theta, \qquad \frac{dy}{d\theta} = 2\cos\theta.
Substituindo na fórmula da inclinação:
\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos\theta}{-2\sin\theta}=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=-\cot\theta.
Então, de forma geral para r=2 obtemos \dfrac{dy}{dx}=-\cot\theta.

Passo 5

Agora avaliamos em \theta=\pi/4. Sabendo que \cot\!\left(\pi/4\right)=1, temos
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\theta=\pi/4} = -\cot\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = -1.
Como checagem numérica usando as derivadas: \dfrac{dx}{d\theta}\big|_{\pi/4}=-2\sin\!\left(\pi/4\right)=-\sqrt{2} e \dfrac{dy}{d\theta}\big|_{\pi/4}=2\cos\!\left(\pi/4\right)=\sqrt{2}, então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-1, consistente com o resultado acima.

Passo 6

Interpretação geométrica (útil na prova): o círculo de raio 2 é centrado na origem, o vetor posição no ponto tem direção \theta=\pi/4, ou seja a reta que liga a origem ao ponto tem inclinação 1. A tangente ao círculo em um ponto é perpendicular ao raio naquele ponto, logo sua inclinação é o negativo do recíproco da inclinação do raio, isto é -1. Isso confirma o resultado da conta algébrica.

Resposta

-1

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