Para obter a inclinação da tangente em curvas parametrizadas por \theta usamos a regra da cadeia: se x=x(\theta) e y=y(\theta), então a derivada \dfrac{dy}{dx} (inclinação da tangente) é
Isso vem direto da regra da cadeia porque \dfrac{dy}{d\theta}=(dy/dx)(dx/d\theta), então isolando dy/dx obtemos a expressão acima. Aqui \theta atua como parâmetro.
Passo 4
Calcamos as derivadas dx/d\theta e dy/d\theta a partir de x(\theta)=2\cos\theta e y(\theta)=2\sin\theta:
Como checagem numérica usando as derivadas: \dfrac{dx}{d\theta}\big|_{\pi/4}=-2\sin\!\left(\pi/4\right)=-\sqrt{2} e \dfrac{dy}{d\theta}\big|_{\pi/4}=2\cos\!\left(\pi/4\right)=\sqrt{2}, então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-1, consistente com o resultado acima.
Passo 6
Interpretação geométrica (útil na prova): o círculo de raio 2 é centrado na origem, o vetor posição no ponto tem direção \theta=\pi/4, ou seja a reta que liga a origem ao ponto tem inclinação 1. A tangente ao círculo em um ponto é perpendicular ao raio naquele ponto, logo sua inclinação é o negativo do recíproco da inclinação do raio, isto é -1. Isso confirma o resultado da conta algébrica.