Qual a condição para uma tangente ser vertical em termos de derivadas?
Passo 1
Você perguntou: “Qual a condição para uma tangente ser vertical em termos de derivadas?”\n
Informações/condições que vamos usar: o que significa “tangente” (reta que toca a curva num ponto), formas comuns de representar curvas (explícita , paramétrica
e implícita
) e a definição de derivada como limite do quociente incremental. A resolução vai explicar, passo a passo, como reconhecer uma tangente vertical em cada uma dessas representações.
Informações/condições que vamos usar: o que significa “tangente” (reta que toca a curva num ponto), formas comuns de representar curvas (explícita
Passo 2
Conceito básico — slope (inclinação) da tangente e derivada:\n
A inclinação da reta tangente à curva no ponto
é dada pela derivada
A inclinação da reta tangente à curva
quando esse limite existe como número real. Essa definição é a que você deve usar em prova: a derivada é o limite do coeficiente angular das secantes quando o segundo ponto se aproxima do primeiro. Se esse limite for um número finito, a tangente tem inclinação finita.
Passo 3
O que significa “inclinação infinita” e tangente vertical para
:\n
Uma reta vertical tem “inclinação infinita” no sentido geométrico: sua equação local é . Em termos do quociente incremental, isso ocorre quando
Uma reta vertical tem “inclinação infinita” no sentido geométrico: sua equação local é
Nesse caso dizemos que a derivada não existe como número real porque diverge para
ou
, e a reta tangente é vertical. Em provas, a forma operacional é: se o limite do quociente incremental tende a infinito, então há tangente vertical.
Passo 4
Exemplo concreto (caso explícito):
no ponto
.\n
Calculemos a derivada formalmente (quando possível):
Calculemos a derivada formalmente (quando possível):
Ao aproximar
temos
, então
Portanto a tangente em
é vertical. Observação didática: mesmo que
não exista como número, a divergência do quociente incremental para infinito é a indicação de tangente vertical.
Passo 5
Caso paramétrico
: condição em termos das derivadas em
.\n
Para curvas paramétricas a inclinação da tangente é dada por
Para curvas paramétricas a inclinação da tangente é dada por
desde que
. Logo, uma tangente vertical ocorre quando
e
em
. Nesse caso o quociente sopra para
. Se ambos
e
são zero, a situação é singular (ponto crítico) e precisa de análise mais refinada (ex.: cusp e possivelmente sem tangente única).
Passo 6
Exemplo paramétrico rápido:
em
.\n
Aqui e
. Em
temos
e
. Assim há tangente vertical no ponto
porque
quando
.
Aqui
Passo 7
Caso implícito
: condição em termos de derivadas parciais.\n
Pelo teorema da diferenciação implícita, se é diferenciável e
então
Pelo teorema da diferenciação implícita, se
Uma tangente vertical aparece quando o denominador da expressão para
se anula enquanto o numerador não se anula, ou seja, quando
Se ambos
e
são zero então o ponto é singular e a natureza da tangente precisa de investigação adicional.
Passo 8
Resumo prático para usar em prova (passos que você pode aplicar rapidamente):\n
- Para
: calcule . Se o limite for , a tangente é vertical. Em notação curta: .\n - Para paramétricas
: verifique e .\n - Para implícitas
: verifique e .\n
Sempre atente para casos singulares (ambos os derivadas nulas) que exigem análise de ordem superior.
Resposta
Para
:
(equivalente a
).
Para paramétricas :
e
.
Para implícitas :
e
.
Para paramétricas
Para implícitas