Qual a condição para uma tangente ser vertical em termos de derivadas?

Passo 1

Você perguntou: “Qual a condição para uma tangente ser vertical em termos de derivadas?”\n
Informações/condições que vamos usar: o que significa “tangente” (reta que toca a curva num ponto), formas comuns de representar curvas (explícita y=f(x), paramétrica (x(t),y(t)) e implícita F(x,y)=0) e a definição de derivada como limite do quociente incremental. A resolução vai explicar, passo a passo, como reconhecer uma tangente vertical em cada uma dessas representações.

Passo 2

Conceito básico — slope (inclinação) da tangente e derivada:\n
A inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x_0,y_0) é dada pela derivada
f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},
quando esse limite existe como número real. Essa definição é a que você deve usar em prova: a derivada é o limite do coeficiente angular das secantes quando o segundo ponto se aproxima do primeiro. Se esse limite for um número finito, a tangente tem inclinação finita.

Passo 3

O que significa “inclinação infinita” e tangente vertical para y=f(x):\n
Uma reta vertical tem “inclinação infinita” no sentido geométrico: sua equação local é x=x_0. Em termos do quociente incremental, isso ocorre quando
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm\infty.
Nesse caso dizemos que a derivada não existe como número real porque diverge para +\infty ou -\infty, e a reta tangente é vertical. Em provas, a forma operacional é: se o limite do quociente incremental tende a infinito, então há tangente vertical.

Passo 4

Exemplo concreto (caso explícito): y=f(x)=x^{1/3} no ponto x_0=0.\n
Calculemos a derivada formalmente (quando possível):
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Ao aproximar x\to0 temos x^{-2/3}\to+\infty, então
\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}f'(x)=+\infty.
Portanto a tangente em (0,0) é vertical. Observação didática: mesmo que f'(0) não exista como número, a divergência do quociente incremental para infinito é a indicação de tangente vertical.

Passo 5

Caso paramétrico (x(t),y(t)): condição em termos das derivadas em t.\n
Para curvas paramétricas a inclinação da tangente é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0. Logo, uma tangente vertical ocorre quando \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}\neq0 em t=t_0. Nesse caso o quociente sopra para \pm\infty. Se ambos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são zero, a situação é singular (ponto crítico) e precisa de análise mais refinada (ex.: cusp e possivelmente sem tangente única).

Passo 6

Exemplo paramétrico rápido: x=t^2,\; y=t em t_0=0.\n
Aqui \dfrac{dx}{dt}=2t e \dfrac{dy}{dt}=1. Em t=0 temos \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=1\neq0. Assim há tangente vertical no ponto (0,0) porque \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2t}\to\pm\infty quando t\to0.

Passo 7

Caso implícito F(x,y)=0: condição em termos de derivadas parciais.\n
Pelo teorema da diferenciação implícita, se F é diferenciável e \frac{\partial F}{\partial y}\neq0 então
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.
Uma tangente vertical aparece quando o denominador da expressão para \dfrac{dy}{dx} se anula enquanto o numerador não se anula, ou seja, quando
F_y(x_0,y_0)=0\quad\text{e}\quad F_x(x_0,y_0)\neq0.
Se ambos F_x e F_y são zero então o ponto é singular e a natureza da tangente precisa de investigação adicional.

Passo 8

Resumo prático para usar em prova (passos que você pode aplicar rapidamente):\n
  • Para y=f(x): calcule \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. Se o limite for \pm\infty, a tangente é vertical. Em notação curta: f'(x_0)=\pm\infty.\n
  • Para paramétricas (x(t),y(t)): verifique \dfrac{dx}{dt}(t_0)=0 e \dfrac{dy}{dt}(t_0)\neq0.\n
  • Para implícitas F(x,y)=0: verifique F_y(x_0,y_0)=0 e F_x(x_0,y_0)\neq0.\n
    Sempre atente para casos singulares (ambos os derivadas nulas) que exigem análise de ordem superior.

Resposta

Para y=f(x): \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm\infty (equivalente a f'(x_0)=\pm\infty).
Para paramétricas (x(t),y(t)): \dfrac{dx}{dt}(t_0)=0 e \dfrac{dy}{dt}(t_0)\neq0.
Para implícitas F(x,y)=0: F_y(x_0,y_0)=0 e F_x(x_0,y_0)\neq0.

Exercícios relacionados