r(t)=\left(t^{2}\right) i+\left(2 t^{3}-3 t\right) j. a) Determinar a trajectória cartesiana. b) Calcular \left.v(t), a(t) . c\right) Determinar o raio de curvatura em \mathrm{t}=2.
a) Determinar a trajectória cartesiana (ou seja, eliminar o parâmetro t para obter uma relação entre x e y).
b) Calcular a velocidade v(t) e a aceleração a(t).
c) Determinar o raio de curvatura no instante t=2.
Informações relevantes que o enunciado fornece (escritas explicitamente a partir do vetor posição):
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=2t^{3}-3t.
Nada mais é pedido além dessas três partes; vou proceder passo a passo.
Passo 2
(a) Trajectória cartesiana — método e eliminação do parâmetro.
Queremos eliminar t entre \;x(t)=t^{2}\; e \;y(t)=2t^{3}-3t.
Da primeira equação temos
t^{2}=x.
Observe que t^{3}=t\cdot t^{2}=t\cdot x. Substituindo em y obtemos
y=2t^{3}-3t = 2(t x)-3t = t(2x-3).
A expressão acima ainda tem t. Para eliminar o sinal de t podemos isolar t ou eliminar usando quadrado. Como t pode ser positivo ou negativo, a forma que evita escolher ramo é quadrar ambos os lados:
y^{2} = t^{2}(2x-3)^{2}.
Mas t^{2}=x, então
y^{2}=x(2x-3)^{2}.
Comentário sobre sinais: da expressão não quadrada temos y = t(2x-3) com t=\pm\sqrt{x}. Assim o ramo com t=\sqrt{x} ou t=-\sqrt{x} corresponde ao sinal de y. A forma implícita
y^{2}=x(2x-3)^{2}
é a equação cartesiana que descreve a trajectória no plano (ela é equivalente e não exige escolher o sinal).
Passo 3
(b) Velocidade v(t) e aceleração a(t) — regras e cálculo.
Regra usada: a derivada do vetor posição é o vetor velocidade, obtida derivando componente a componente. A derivada de t^{n} é n t^{n-1}; a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
A aceleração é a derivada da velocidade (derivada segunda da posição). Derivando componente a componente:
x''(t)=2,\qquad y''(t)=12t.
Logo
a(t)=r''(t)=2\,\mathbf{i} + 12t\,\mathbf{j}.
(opcional — interpretação): v(t) dá a direção e sentido instantâneos do movimento; a(t) indica a taxa de variação da velocidade (módulo e direção).
Passo 4
(c) Raio de curvatura em t=2 — fórmula, significado e cálculo passo a passo.
Explicação da fórmula: para uma curva parametrizada por t com componentes x(t) e y(t), a curvatura \kappa(t) (medida de quanto a curva se dobra) é dada por
Se quiser uma estimativa numérica rápida: \sqrt{457}\approx 21{,}377, então \rho(2)\approx 180{,}9 (unidades de comprimento do mesmo sistema dos componentes).
Resposta
a) y^{2}=x(2x-3)^{2}
b) v(t)=\big(2t\big)\,\mathbf{i}+\big(6t^{2}-3\big)\,\mathbf{j}
b) a(t)=2\,\mathbf{i}+12t\,\mathbf{j}
c) \rho(2)=\dfrac{457^{3/2}}{54}=\dfrac{457\sqrt{457}}{54} (aprox. 180{,}9)