r(t)=\left(t^{2}\right) i+\left(2 t^{3}-3 t\right) j. a) Determinar a trajectória cartesiana. b) Calcular \left.v(t), a(t) . c\right) Determinar o raio de curvatura em \mathrm{t}=2.

Passo 1

O enunciado dá a posição vetorial
r(t)=\big(t^{2}\big)\,\mathbf{i}+\big(2t^{3}-3t\big)\,\mathbf{j}
e pede três coisas:
  1. a) Determinar a trajectória cartesiana (ou seja, eliminar o parâmetro t para obter uma relação entre x e y).
  2. b) Calcular a velocidade v(t) e a aceleração a(t).
  3. c) Determinar o raio de curvatura no instante t=2.
Informações relevantes que o enunciado fornece (escritas explicitamente a partir do vetor posição):
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=2t^{3}-3t.
Nada mais é pedido além dessas três partes; vou proceder passo a passo.

Passo 2

(a) Trajectória cartesiana — método e eliminação do parâmetro.
Queremos eliminar t entre \;x(t)=t^{2}\; e \;y(t)=2t^{3}-3t.
  1. Da primeira equação temos
t^{2}=x.
  1. Observe que t^{3}=t\cdot t^{2}=t\cdot x. Substituindo em y obtemos
y=2t^{3}-3t = 2(t x)-3t = t(2x-3).
  1. A expressão acima ainda tem t. Para eliminar o sinal de t podemos isolar t ou eliminar usando quadrado. Como t pode ser positivo ou negativo, a forma que evita escolher ramo é quadrar ambos os lados:
y^{2} = t^{2}(2x-3)^{2}.
Mas t^{2}=x, então
y^{2}=x(2x-3)^{2}.
Comentário sobre sinais: da expressão não quadrada temos y = t(2x-3) com t=\pm\sqrt{x}. Assim o ramo com t=\sqrt{x} ou t=-\sqrt{x} corresponde ao sinal de y. A forma implícita
y^{2}=x(2x-3)^{2}
é a equação cartesiana que descreve a trajectória no plano (ela é equivalente e não exige escolher o sinal).

Passo 3

(b) Velocidade v(t) e aceleração a(t) — regras e cálculo.
Regra usada: a derivada do vetor posição é o vetor velocidade, obtida derivando componente a componente. A derivada de t^{n} é n t^{n-1}; a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  1. Derivando x(t)=t^{2} obtemos
x'(t)=2t.
  1. Derivando y(t)=2t^{3}-3t obtemos
y'(t)=6t^{2}-3.
Portanto o vetor velocidade é
v(t)=r'(t)=\big(2t\big)\,\mathbf{i}+\big(6t^{2}-3\big)\,\mathbf{j}.
  1. A aceleração é a derivada da velocidade (derivada segunda da posição). Derivando componente a componente:
x''(t)=2,\qquad y''(t)=12t.
Logo
a(t)=r''(t)=2\,\mathbf{i} + 12t\,\mathbf{j}.
(opcional — interpretação): v(t) dá a direção e sentido instantâneos do movimento; a(t) indica a taxa de variação da velocidade (módulo e direção).

Passo 4

(c) Raio de curvatura em t=2 — fórmula, significado e cálculo passo a passo.
Explicação da fórmula: para uma curva parametrizada por t com componentes x(t) e y(t), a curvatura \kappa(t) (medida de quanto a curva se dobra) é dada por
\kappa(t)=\frac{\big|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\big|}{\big((x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}\big)^{3/2}}.
O raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=\frac{\big((x')^{2}+(y')^{2}\big)^{3/2}}{\big|x'y''-y'x''\big|}.
Aqui x',y' são derivadas primeiras e x'',y'' derivadas segundas em relação a t.
Aplicando aos nossos x(t),y(t):
Já temos
x'(t)=2t,\quad x''(t)=2,\qquad y'(t)=6t^{2}-3,\quad y''(t)=12t.
Calcule o numerador interno N(t)=x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t):
N(t)=(2t)(12t)-(6t^{2}-3)(2)=24t^{2}-12t^{2}+6=12t^{2}+6=6(2t^{2}+1).
No instante t=2:
N(2)=6\big(2\cdot 2^{2}+1\big)=6(2\cdot 4+1)=6(8+1)=6\cdot 9=54.
Valor absoluto |N(2)|=54.
Calcule o denominador interno D(t)=\big((x')^{2}+(y')^{2}\big)^{3/2}. Primeiro a soma dentro do parêntesis:
(x')^{2}+(y')^{2}=(2t)^{2}+(6t^{2}-3)^{2}=4t^{2}+(6t^{2}-3)^{2}.
Em t=2:
(2t)^{2}=4\cdot 2^{2}=16,\qquad y'(2)=6\cdot 2^{2}-3=24-3=21,\quad (y'(2))^{2}=21^{2}=441.
Logo
(x')^{2}+(y')^{2}\Big|_{t=2}=16+441=457.
Então
D(2)=457^{3/2}=457\sqrt{457}.
Portanto a curvatura em t=2 é
\kappa(2)=\frac{54}{457^{3/2}},
e o raio de curvatura em t=2 é
\rho(2)=\frac{1}{\kappa(2)}=\frac{457^{3/2}}{54}=\frac{457\sqrt{457}}{54}.
Se quiser uma estimativa numérica rápida: \sqrt{457}\approx 21{,}377, então \rho(2)\approx 180{,}9 (unidades de comprimento do mesmo sistema dos componentes).

Resposta

a) y^{2}=x(2x-3)^{2}
b) v(t)=\big(2t\big)\,\mathbf{i}+\big(6t^{2}-3\big)\,\mathbf{j}
b) a(t)=2\,\mathbf{i}+12t\,\mathbf{j}
c) \rho(2)=\dfrac{457^{3/2}}{54}=\dfrac{457\sqrt{457}}{54} (aprox. 180{,}9)

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