\mathrm{x}=2 \mathrm{t}, \mathrm{y}=\mathrm{t}^{2}. a) Determinar \mathrm{r}(\mathrm{t}). b) Calcular o deslocamento entre \mathrm{t}=0 \mathrm{et}=3. c) Determinar \left.\mathrm{v}_{\mathrm{m}} . \mathrm{d}\right) Calcular o raio de curvatura em \mathrm{t}=2.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas \mathrm{x}=2\mathrm{t} e \mathrm{y}=\mathrm{t}^{2}. As perguntas são:
a) Determinar \mathrm{r}(\mathrm{t}).
b) Calcular o deslocamento entre \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=3.
c) Determinar \mathrm{v}_{m} (a velocidade escalar, ou seja, o módulo da velocidade) como função de \mathrm{t}.
d) Calcular o raio de curvatura em \mathrm{t}=2.
Informações relevantes dadas: as funções de x(t) e y(t) para todo t: x(t)=2t, y(t)=t^2.

Passo 2

Construir o vetor posição \mathbf{r}(t). Por definição, o vetor posição para uma curva plana paramétrica é
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle.
Substituindo x(t)=2t e y(t)=t^{2} obtemos
\mathbf{r}(t)=\langle 2t,\,t^{2}\rangle.
Isto responde a letra (a).

Passo 3

Definir deslocamento entre dois instantes t_1 e t_2. O deslocamento vetorial é
\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1).
Aqui queremos entre t_1=0 e t_2=3. Primeiro computamos \mathbf{r}(3) e \mathbf{r}(0):
\mathbf{r}(3)=\langle 2\cdot 3,\,3^{2}\rangle=\langle 6,\,9\rangle,
\mathbf{r}(0)=\langle 2\cdot 0,\,0^{2}\rangle=\langle 0,\,0\rangle.
Logo o deslocamento é
\Delta \mathbf{r}=\langle 6,\,9\rangle-\langle 0,\,0\rangle=\langle 6,\,9\rangle.
Isto responde a letra (b).

Passo 4

Encontrar a velocidade vetorial \mathbf{v}(t). A velocidade vetorial é a derivada do vetor posição:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle.
Derivando x(t)=2t e y(t)=t^{2} obtemos
x'(t)=2,\qquad y'(t)=2t,
portanto
\mathbf{v}(t)=\langle 2,\,2t\rangle.

Passo 5

Definir e calcular a velocidade escalar (módulo da velocidade) \mathrm{v}_{m}(t). A velocidade escalar é o comprimento do vetor \mathbf{v}(t):
\mathrm{v}_{m}(t)=\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}.
Substituindo x'(t)=2 e y'(t)=2t temos
\mathrm{v}_{m}(t)=\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{4+4t^{2}}=2\sqrt{1+t^{2}}.
Isto responde a letra (c): a velocidade escalar em função de t é \;2\sqrt{1+t^{2}}.

Passo 6

Preparar a fórmula do raio de curvatura. Para uma curva plana parametrizada por t, a curvatura \kappa(t) pode ser escrita como
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}\bigr)^{3}}.
O raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Explicando rapidinho: o numerador é a magnitude do “produto cruzado” entre \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' (em 2D reduz a uma diferença de produtos), e o denominador é o cubo do módulo da velocidade.

Passo 7

Calcular as derivadas de segunda ordem e aplicar a fórmula. Já temos x'(t)=2 e y'(t)=2t. Derivando novamente:
x''(t)=0,\qquad y''(t)=2.
Calcular o numerador da curvatura:
|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|=|2\cdot 2-(2t)\cdot 0|=|4|=4.
Calcular o denominador usando \|\mathbf{v}(t)\|=2\sqrt{1+t^{2}}:
\bigl(\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}\bigr)^{3}=\bigl(2\sqrt{1+t^{2}}\bigr)^{3}=8(1+t^{2})^{3/2}.
Logo a curvatura é
\kappa(t)=\frac{4}{8(1+t^{2})^{3/2}}=\frac{1}{2(1+t^{2})^{3/2}}.
Portanto o raio de curvatura é
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=2(1+t^{2})^{3/2}.

Passo 8

Avaliar o raio de curvatura em \mathrm{t}=2. Substituindo t=2 em \rho(t)=2(1+t^{2})^{3/2}:
\rho(2)=2(1+2^{2})^{3/2}=2(1+4)^{3/2}=2\cdot 5^{3/2}=2\cdot 5\sqrt{5}=10\sqrt{5}.
Isto responde a letra (d).

Resposta

a) \mathbf{r}(t)=\langle 2t,\,t^{2}\rangle
b) \Delta \mathbf{r}=\langle 6,\,9\rangle
c) \mathrm{v}_{m}(t)=2\sqrt{1+t^{2}}
d) \rho(2)=10\sqrt{5}

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