. a) Determinar
. b) Calcular o deslocamento entre
. c) Determinar
Calcular o raio de curvatura em
.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas paramétricas
e
. As perguntas são:
a) Determinar .
b) Calcular o deslocamento entre e
.
c) Determinar (a velocidade escalar, ou seja, o módulo da velocidade) como função de
.
d) Calcular o raio de curvatura em .
Informações relevantes dadas: as funções de e
para todo
:
,
.
a) Determinar
b) Calcular o deslocamento entre
c) Determinar
d) Calcular o raio de curvatura em
Informações relevantes dadas: as funções de
Passo 2
Construir o vetor posição
. Por definição, o vetor posição para uma curva plana paramétrica é
Substituindo
e
obtemos
Isto responde a letra (a).
Passo 3
Definir deslocamento entre dois instantes
e
. O deslocamento vetorial é
Aqui queremos entre
e
. Primeiro computamos
e
:
Logo o deslocamento é
Isto responde a letra (b).
Passo 4
Encontrar a velocidade vetorial
. A velocidade vetorial é a derivada do vetor posição:
Derivando
e
obtemos
portanto
Passo 5
Definir e calcular a velocidade escalar (módulo da velocidade)
. A velocidade escalar é o comprimento do vetor
:
Substituindo
e
temos
Isto responde a letra (c): a velocidade escalar em função de
é
.
Passo 6
Preparar a fórmula do raio de curvatura. Para uma curva plana parametrizada por
, a curvatura
pode ser escrita como
O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Explicando rapidinho: o numerador é a magnitude do “produto cruzado” entre
e
(em 2D reduz a uma diferença de produtos), e o denominador é o cubo do módulo da velocidade.
Passo 7
Calcular as derivadas de segunda ordem e aplicar a fórmula. Já temos
e
. Derivando novamente:
Calcular o numerador da curvatura:
Calcular o denominador usando
:
Logo a curvatura é
Portanto o raio de curvatura é
Passo 8
Avaliar o raio de curvatura em
. Substituindo
em
:
Isto responde a letra (d).
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)