r: x2=z-3 ; y=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que representa uma reta no espaço tridimensional. A equação é:
r: x2 = z-3; y = 4
Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica e Vetores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar essa reta em forma paramétrica, ou seja, em termos de um parâmetro que nos dá as coordenadas de qualquer ponto na reta.

Passo 2

Primeiro, observe que . Isso significa que, em todos os pontos da reta, a coordenada é sempre 4. Não precisa de mais explicação para isso, é só uma constante.

Passo 3

Agora, vamos para as outras partes: x2 = t e z-3 = t . Isso nos dá uma relação entre e . Para facilitar, podemos chamar essa expressão de igual a um parâmetro, digamos . Então:
Aqui, é qualquer número real que escolhemos para gerar os pontos na reta.

Passo 4

Resolvendo essas duas equações para x2 = t implies x = 2t e z-3 = t implies z = -3t :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, já temos todas as coordenadas em termos de x = 2t y = 4 z = -3t :

Passo 6

Podemos então escrever as equações paramétricas da reta x = 2t y = 4 z = -3t usando o parâmetro :

Passo 7

Alternativamente, podemos expressar isso em forma vetorial. Primeiro, identificamos um ponto na reta e o vetor diretor.
Um ponto na reta ocorre quando x = 0, y = 4, z = 0 implies (0, 4, 0) :
d = (2, 0, -3)
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de r = r0 + td = (0, 4, 0) + t(2, 0, -3) :
Então, a forma vetorial fica:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 2t y = 4 z = -3t
ou, em forma vetorial,
r = (0, 4, 0) + t, (2,, 0,, -3)
onde é um número real.

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