1. Se u=3 i-j-2 k, v=2 i+4 j-k e w=-i+k, determinar
    (a) |u times u|
    (b) (2 v) times(3 v)
    © (u times w)+(w times u)
    (d) (u times v) times(v times u)
    (e) (u-v) times w
    (f) (u times v) times w
    (g) u times(v times w)
    (h) u times(v+w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com produtos vetoriais de alguns vetores dados: , e . Vamos precisar entender como calcular produtos vetoriais, propriedades desses produtos e como calcular o módulo de um vetor. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

(a) u times u = 0
Primeiro, lembre-se que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo sempre dá o vetor zero. Isso porque o ângulo entre eles é 0 graus, e o seno de 0 é zero.
Então, o módulo de é 0.

Passo 3

(b) (2v) times (3v) = 6 (v times v) = 6 0 = 0
Aqui, temos produtos vetoriais envolvendo escalares. Sabemos que .

Passo 4

© u times w + w times u = u times w - u times w = 0
Sabemos que .

Passo 5

(d) u times v = i & j & k 3 & -1 & -2 2 & 4 & -1 = i((-1)(-1) - (-2)(4)) - j(3(-1) - (-2)(2)) + k(3 cdot 4 - (-1)(2)) = i(1 + 8) - j(-3 + 4) + k(12 + 2) = 9i - j + 14k
Primeiro, vamos calcular (9i - j + 14k) times (-9i + j -14k) .
Como , o produto entre eles será:
Esse cálculo é mais complexo, mas usando propriedades de produtos vetoriais, vemos que o resultado será o vetor zero, já que estamos cruzando um vetor com múltiplos dele mesmo.

Passo 6

(e) u - v = (3i - j -2k) - (2i +4j -k) = (3-2)i + (-1-4)j + (-2+1)k = i -5j -k
Primeiro, vamos calcular (i -5j -k) times (-i + k) = i times (-i) + i times k -5j times (-i) -5j times k -k times (-i) -k times k :
0 + j +5k +5i +j + 0 = 5i + 2j +5k
Agora, vamos cruzar com :
Simplificando:

Passo 7

(f) (9i - j +14k) times (-i + k) = 9i times (-i) + 9i times k - j times (-i) - j times k +14k times (-i) +14k times k
Já calculamos 0 -9j + k + i -14j + 0 = i -23j + k . Agora, vamos cruzar com :
Simplificando:

Passo 8

(g) v times w = i & j & k 2 & 4 & -1 -1 & 0 & 1 = i(4 cdot 1 - (-1) cdot 0) - j(2 cdot 1 - (-1)(-1)) + k(2 cdot 0 -4(-1)) = 4i - (2 -1)j + 4k = 4i - j +4k
Vamos usar a identidade do produto vetorial: u times (v times w) = v (u cdot w) - w (u cdot v) .
Primeiro, calculemos u cdot w = 3(-1) + (-1)(0) + (-2)(1) = -3 +0 -2 = -5 :
u cdot v = 3 cdot 2 + (-1) cdot4 + (-2)(-1) = 6 -4 +2 =4
Agora, aplicamos a identidade:
v (-5) - w (4) = -5v -4w = -5(2i +4j -k) -4(-i +k) = -10i -20j +5k +4i -4k = (-10+4)i -20j + (5-4)k = -6i -20j +k
Calculando os produtos escalares:
Então,

Passo 9

(h) v + w = (2i +4j -k) + (-i +k) = (2-1)i +4j + (-1+1)k = i +4j
Primeiro, vamos somar u times (i +4j) = u times i + 4u times j :
u times i = i & j & k 3 & -1 & -2 1 &0 &0 = j(0 -0) - k (3 cdot0 - (-1)cdot1) = 0j - (0 +1)k = -k
Agora, cruzamos com u times j = i & j & k 3 & -1 & -2 0 &1 &0 = i((-1)(0) - (-2)(1)) - j(3 cdot0 - (-2) cdot0) + k(3 cdot1 - (-1)cdot0) = 2i - 0j +3k :
u times (i +4j) = -k +4(2i +3k) = -k +8i +12k =8i +11k
Calculando cada parte:
Então,

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)

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