R11 Dados dois pontos A, B (no plano ou no espaço), como encontrar as equações paramétricas da reta que passa por estes dois pontos?

Passo 1

O enunciado pede: dado dois pontos A e B (no plano ou no espaço), encontrar as equações paramétricas da reta que passa por esses dois pontos.
Informações fornecidas (genéricas que vamos assumir para resolver qualquer caso):
\;A=(x_A,y_A) e \;B=(x_B,y_B) quando os pontos estão no plano.
\;A=(x_A,y_A,z_A) e \;B=(x_B,y_B,z_B) quando os pontos estão no espaço.
Objetivo claro: escrever as equações paramétricas (isto é, expressar as coordenadas como funções de um parâmetro t) da reta que passa por A e B.

Passo 2

Conceito chave — vetor diretor: para construir a reta usamos um vetor que dê a direção da reta. Esse vetor é simplesmente o vetor que vai de A a B, que chamamos de \overrightarrow{AB}.
Cálculo do vetor diretor:
\overrightarrow{AB} = B - A.
No plano:
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
No espaço:
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).
Explicação didática: subtrair as coordenadas corresponde a “ver quanto eu ando” em cada eixo para ir de A até B. Esse deslocamento é a direção da reta.

Passo 3

Fórmula vetorial paramétrica da reta: uma reta que passa por um ponto A e tem vetor diretor \vec d=\overrightarrow{AB} pode ser escrita como
\vec r(t)=\vec A + t\vec d,
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro.
Por que isso funciona? Quando t=0 temos \vec r(0)=\vec A. Quando t=1 temos \vec r(1)=\vec A+\vec d=\vec B. Valores diferentes de t movem você ao longo da reta na direção de \vec d (positivos vão de A para B e além; negativos vão na direção oposta).

Passo 4

Converter a fórmula vetorial em equações paramétricas no plano: substituindo \vec A=(x_A,y_A) e \vec d=(x_B-x_A,y_B-y_A) obtemos
x = x_A + t\,(x_B-x_A),
y = y_A + t\,(y_B-y_A),
com t\in\mathbb{R}.
Interpretação: cada coordenada é uma função linear de t. Na prova, se pedirem “dar equações paramétricas”, essas duas linhas já resolvem.

Passo 5

Converter para o espaço (3D): com \vec A=(x_A,y_A,z_A) e \vec d=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) as equações paramétricas são
x = x_A + t\,(x_B-x_A),
y = y_A + t\,(y_B-y_A),
z = z_A + t\,(z_B-z_A),
com t\in\mathbb{R}. Mesma ideia do plano, só que agora tem componente z.

Passo 6

Exemplo prático no plano (para fixar): seja A=(1,2) e B=(4,8).
Calcule \overrightarrow{AB}=(4-1,\,8-2)=(3,6). Logo as equações paramétricas são
x=1+3t,\qquad y=2+6t,\quad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida: t=0\Rightarrow (1,2)=A. t=1\Rightarrow (4,8)=B. Beleza — está correto.

Passo 7

Exemplo prático no espaço: seja A=(0,1,2) e B=(3,4,5).
\overrightarrow{AB}=(3,3,3). Equações paramétricas:
x=0+3t,\qquad y=1+3t,\qquad z=2+3t,\quad t\in\mathbb{R}.
Novamente t=0 A e t=1 B.

Passo 8

Forma simétrica (opcional, mas útil): se os componentes do vetor diretor \vec d=(d_x,d_y,d_z) forem todos diferentes de zero, a reta também pode ser escrita como
\frac{x-x_A}{d_x}=\frac{y-y_A}{d_y}=\frac{z-z_A}{d_z}.
No plano isso vira
\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}.
Cuidado-prático: se algum d_x, d_y ou d_z for zero, não divida por ele — nesse caso a coordenada correspondente é constante (por exemplo, se d_z=0 então z=z_A para toda a reta).

Passo 9

Como checar se um ponto P pertence à reta durante a prova (truquezinho rápido): substitua as coordenadas de P nas equações paramétricas e tente resolver para t. Se todas as equações derem o mesmo t, então P está na reta; se houver contradição, não está. Exemplo: com x=1+3t e y=2+6t, para P=(7,14) temos t=(7-1)/3=2 e t=(14-2)/6=2 — consistente, então P está na reta.

Passo 10

Dicas para a prova (práticas e motivadoras): use o vetor \overrightarrow{AB} diretamente — é o jeito mais rápido. Se quiser, escolha outro parâmetro (por exemplo s=t-1 ou escalar o vetor diretor) para simplificar números inteiros. Lembra: o que importa é que a reta passe por A quando t=0 (ou outro valor que você escolher) e tenha direção certa. Vai dar certo — respira fundo e aplica a receita passo a passo.

Resposta

\vec r(t)=\vec A + t(\vec B-\vec A) \Rightarrow no plano:
x = x_A + t\,(x_B-x_A),\qquad y = y_A + t\,(y_B-y_A),\quad t\in\mathbb{R}.
no espaço:
x = x_A + t\,(x_B-x_A),\qquad y = y_A + t\,(y_B-y_A),\qquad z = z_A + t\,(z_B-z_A),\quad t\in\mathbb{R}.

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