R7 Dado um triângulo com vértices A, B, C (em \mathbb{R}^{3} ), como calcular a sua área usando produto vetorial? Em particular, como decidir se os três pontos são colineares?

Passo 1

O enunciado diz: temos um triângulo com vértices A,B,C em \mathbb{R}^3. As perguntas são duas: (1) como calcular a área desse triângulo usando produto vetorial; (2) como decidir se os três pontos são colineares.
Informações dadas (ou presumidas): as coordenadas dos pontos A,B,C estão disponíveis (por exemplo A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B,y_B,z_B), C=(x_C,y_C,z_C)). Não há outros dados ocultos nem figuras faltando.

Passo 2

Primeiro passo prático: construir dois vetores que saem do mesmo vértice e formam o triângulo. Uma escolha conveniente é usar o vértice A e formar os vetores
\vec{u}=\overrightarrow{AB}= \, \bigl(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A\bigr)
\vec{v}=\overrightarrow{AC}= \, \bigl(x_C-x_A,\;y_C-y_A,\;z_C-z_A\bigr).
Explicação didática: subtrair coordenadas é a forma de obter o vetor que vai de A para B ou de A para C. Cada componente do vetor resulta da diferença das coordenadas correspondentes.

Passo 3

Agora a ideia geométrica central: o módulo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} dá a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}. Em fórmula:
\bigl\lvert \vec{u}\times\vec{v}\bigr\rvert = \lvert \vec{u}\rvert\;\lvert \vec{v}\rvert\;\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, e \lvert\cdot\rvert é o comprimento (norma) do vetor. Aqui:
  • \lvert \vec{u}\rvert significa \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3);
  • \sin\theta mede a componente perpendicular entre os vetores, portanto o produto \lvert \vec{u}\rvert\lvert \vec{v}\rvert\sin\theta é exatamente a área do paralelogramo.

Passo 4

O triângulo ABC é metade desse paralelogramo. Logo a fórmula da área do triângulo é
\text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\,\bigl\lvert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\rvert.Á
Interpretação prática para a prova: calcule \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, faça o produto vetorial, calcule o módulo do resultado e divida por 2.

Passo 5

Como calcular o produto vetorial em componentes (forma prática de papel e caneta)? Se
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
então
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Explicação: essa fórmula vem do determinante da matriz com as bases e as componentes, mas na prática memorize ou aplique diretamente as três expressões acima. Depois de obter \vec{u}\times\vec{v}=(w_1,w_2,w_3), calcule
\bigl\lvert \vec{u}\times\vec{v}\bigr\rvert=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}
e então a área do triângulo é metade disso.

Passo 6

Uma alternativa útil para evitar calcular componentes do produto vetorial é usar a identidade (identidade de Lagrange)
\bigl\lvert \vec{u}\times\vec{v}\bigr\rvert^{2}=\lvert\vec{u}\rvert^{2}\lvert\vec{v}\rvert^{2}-(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2}.
Aqui \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 é o produto escalar. Então, se for mais fácil você pode:
  1. calcular \lvert\vec{u}\rvert^{2} e \lvert\vec{v}\rvert^{2} (somar quadrados das componentes),
  2. calcular \vec{u}\cdot\vec{v},
  3. fazer \lvert\vec{u}\rvert^{2}\lvert\vec{v}\rvert^{2}-(\vec{u}\cdot\vec{v})^{2},
  4. tirar raiz para obter \lvert\vec{u}\times\vec{v}\rvert e dividir por 2.
    Isso é especialmente prático quando se quer evitar muitos cálculos intermediários de determinantes.

Passo 7

Como decidir se os pontos são colineares? Use o produto vetorial: os três pontos A,B,C são colineares se, e somente se,
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\vec{0},
ou seja, o produto vetorial é o vetor nulo (todas as três componentes iguais a zero). Justificativa: o módulo do produto vetorial é \lvert\vec{u}\rvert\lvert\vec{v}\rvert\sin\theta; esse valor é zero exatamente quando \sin\theta=0 (os vetores são paralelos/antiparalelos, mesmo reta) ou quando um dos vetores tem comprimento zero (dois pontos coincidem). Portanto, produto vetorial nulo significa que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são linearmente dependentes — os pontos estão na mesma reta. No exame, basta verificar se as três componentes do produto vetorial dão zero (ou, se preferir, verificar se as componentes de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são proporcionais).

Passo 8

Exemplo numérico passo a passo (para fixar): seja A=(1,2,3), B=(4,2,3), C=(1,5,3).
  1. \overrightarrow{AB}=(4-1,\;2-2,\;3-3)=(3,0,0).
  2. \overrightarrow{AC}=(1-1,\;5-2,\;3-3)=(0,3,0).
  3. Produto vetorial:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0\cdot0-0\cdot3,\;0\cdot0-3\cdot0,\;3\cdot3-0\cdot0)=(0,0,9).
  1. Módulo: \bigl\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\rvert=\sqrt{0^2+0^2+9^2}=9.
  2. Área do triângulo: \text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot 9=4{,}5.Á
    Esse exemplo mostra também que os vetores não são colineares (produto vetorial não nulo).

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (amigáveis e práticas):
  • Sempre escolha dois vetores saindo do mesmo ponto (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}).
  • Se as componentes forem inteiras, verifique primeiro se o produto vetorial tem componentes inteiras simples — às vezes já dá zero e você conclui colinearidade rapidamente.
  • Se você só precisa saber se são colineares, não precisa tirar raiz: basta verificar se todas as componentes de \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} são zero.
  • Se quiser evitar sinais e determinantes, use a verificação de proporcionalidade das componentes (ex.: u_1/v_1 = u_2/v_2 = u_3/v_3 quando denominadores não forem zero), mas atenção a casos com zeros nas componentes — o produto vetorial evita estas pegadinhas.

Resposta

\displaystyle \text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\,\bigl\lvert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\rvertÁ.
Os três pontos A,B,C são colineares \iff \displaystyle \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\vec{0}.

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