R2 Qual a relação entre o produto interno de dois vetores e ângulo formado por eles?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a relação entre o produto interno de dois vetores e o ângulo formado por eles?”
Informações dadas (implícitas): temos dois vetores (vou chamar de \mathbf{u} e \mathbf{v}) e existe um ângulo \theta entre esses vetores. A pergunta pede a relação matemática entre o produto interno (também chamado de produto escalar) e esse ângulo.

Passo 2

Definições básicas — o que é produto interno e norma. Vou explicar devagar, passo a passo.
O produto interno (produto escalar) entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é um número real que denotamos por \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.
A norma (ou comprimento) de um vetor \mathbf{u} é denotada por \|\mathbf{u}\| e é a “distância” do vetor até a origem.

Passo 3

Fórmula em coordenadas em \mathbb{R}^n (prática na prova). Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n), então o produto interno é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
A norma é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} u_i^2}.
Isso é útil para calcular valores numéricos.

Passo 4

Derivação geométrica da relação (a parte mais importante para entender). Vou usar a identidade do quadrado da diferença (igual ao que se faz com o Teorema de Cossenos). Considere o vetor \mathbf{u}-\mathbf{v}. A norma ao quadrado é
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2=(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{v}).
Expandindo o produto interno à direita obtemos
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}-2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.
Como \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=\|\mathbf{u}\|^2 e \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|^2, isto é
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2-2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.

Passo 5

Agora a mesma quantidade pode ser expressa geometricamente usando o Teorema dos Cossenos para o triângulo formado pelos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}. Se \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}, então
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2-2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.

Passo 6

Comparando as duas expressões para \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2 (a da expansão e a do Teorema dos Cossenos), as parcelas \|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2 cancelam e ficamos com
-2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Dividindo por -2 obtemos a relação fundamental:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.

Passo 7

Interpretação e uso prático. A fórmula significa que o produto interno mede quanto \mathbf{u} aponta na direção de \mathbf{v}. De forma útil podemos isolar o cosseno e obter o ângulo:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|},
e então
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\right).

Passo 8

Consequências importantes (coisas que caem em prova):
  • Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 e \mathbf{u}\neq\mathbf{0}, \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ. Ou seja, vetores ortogonais têm produto interno zero.
  • Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}>0 então \cos\theta>0 e \theta é agudo ( <90^\circ).
  • Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0 então \cos\theta<0 e \theta é obtuso ( >90^\circ).
  • A projeção de \mathbf{u} sobre \mathbf{v} tem comprimento \|\mathbf{u}\|\cos\theta, e a projeção vetorial é
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2}\mathbf{v}.

Passo 9

Exemplo numérico passo a passo (pra você praticar e confiar que funciona). Tome \mathbf{u}=(2,1) e \mathbf{v}=(1,3).
Calcule o produto interno:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2\cdot1+1\cdot3=2+3=5.
Normas:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5},\qquad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.
Produto das normas:
\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|=\sqrt{5}\sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.
Então
\cos\theta=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto \theta=45^\circ (porque \operatorname{arccos}(1/\sqrt{2})=45^\circ). Viu como funciona? Nem precisa inventar truque.

Passo 10

Resumo prático para a prova (decore isso com calma): quando pedir o ângulo entre vetores, calcule produto interno e normas e use a fórmula do cosseno. Interprete o sinal do produto interno para saber se é agudo/recto/obtuso. Você consegue — respira fundo e pratica com 3 ou 4 exemplos rápidos que eu te dei aqui.

Resposta

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\right)

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