R2 Qual a relação entre o produto interno de dois vetores e ângulo formado por eles?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual a relação entre o produto interno de dois vetores e o ângulo formado por eles?”
Informações dadas (implícitas): temos dois vetores (vou chamar de \mathbf{u} e \mathbf{v}) e existe um ângulo \theta entre esses vetores. A pergunta pede a relação matemática entre o produto interno (também chamado de produto escalar) e esse ângulo.
Passo 2
Definições básicas — o que é produto interno e norma. Vou explicar devagar, passo a passo.
O produto interno (produto escalar) entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é um número real que denotamos por \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.
A norma (ou comprimento) de um vetor \mathbf{u} é denotada por \|\mathbf{u}\| e é a “distância” do vetor até a origem.
Passo 3
Fórmula em coordenadas em \mathbb{R}^n (prática na prova). Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n), então o produto interno é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
A norma é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} u_i^2}.
Isso é útil para calcular valores numéricos.
Passo 4
Derivação geométrica da relação (a parte mais importante para entender). Vou usar a identidade do quadrado da diferença (igual ao que se faz com o Teorema de Cossenos). Considere o vetor \mathbf{u}-\mathbf{v}. A norma ao quadrado é
Agora a mesma quantidade pode ser expressa geometricamente usando o Teorema dos Cossenos para o triângulo formado pelos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}. Se \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}, então
Comparando as duas expressões para \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2 (a da expansão e a do Teorema dos Cossenos), as parcelas \|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2 cancelam e ficamos com
Interpretação e uso prático. A fórmula significa que o produto interno mede quanto \mathbf{u} aponta na direção de \mathbf{v}. De forma útil podemos isolar o cosseno e obter o ângulo:
Consequências importantes (coisas que caem em prova):
Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 e \mathbf{u}\neq\mathbf{0}, \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ. Ou seja, vetores ortogonais têm produto interno zero.
Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}>0 então \cos\theta>0 e \theta é agudo (<90^\circ).
Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0 então \cos\theta<0 e \theta é obtuso (>90^\circ).
A projeção de \mathbf{u} sobre \mathbf{v} tem comprimento \|\mathbf{u}\|\cos\theta, e a projeção vetorial é
Portanto \theta=45^\circ (porque \operatorname{arccos}(1/\sqrt{2})=45^\circ). Viu como funciona? Nem precisa inventar truque.
Passo 10
Resumo prático para a prova (decore isso com calma): quando pedir o ângulo entre vetores, calcule produto interno e normas e use a fórmula do cosseno. Interprete o sinal do produto interno para saber se é agudo/recto/obtuso. Você consegue — respira fundo e pratica com 3 ou 4 exemplos rápidos que eu te dei aqui.