R4 Dado um triângulo com vértices A, B, C (em \mathbb{R}^{2} ou \mathbb{R}^{3} ), como decidir se o triângulo é agudo, obtuso ou reto sabendo somente as coordenadas destes pontos?
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos três vértices A,B,C (em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3) e pede para decidir se o triângulo ABC é agudo, reto ou obtuso sabendo somente essas coordenadas. Informações relevantes fornecidas:
Pergunta a responder: com apenas essas coordenadas, como determinar se o triângulo é
agudo (todos os ângulos menores que 90^\circ),
reto (um ângulo igual a 90^\circ),
ou obtuso (um ângulo maior que 90^\circ)?
Passo 2
Ideia geral que vamos usar (aqui só explico a escolha do método, sem desenvolver): em vez de calcular ângulos com arco-cosseno (que é trabalhoso e propenso a erros numéricos), vamos usar comprimentos dos lados e a relação da Lei dos Cossenos. Essa relação permite decidir o sinal do cosseno de um ângulo apenas comparando quadrados de comprimentos dos lados — ou seja, apenas usando operações com as coordenadas (subtrações, quadrados, somas). Isso é rápido e fácil de aplicar na prova.
Passo 3
Como obter o quadrado do comprimento de um lado a partir das coordenadas (aulas rápidas e óbvias, passo-a-passo):
Defina o vetor entre dois pontos como a diferença das coordenadas. Por exemplo, o vetor \overrightarrow{AB} é
Obs.: se os pontos estão em \mathbb{R}^2 basta ignorar o termo com z.
Passo 4
Atribuição convencional dos lados e como calcular:
Seja a o comprimento do lado oposto a A, isto é a=\lVert \overrightarrow{BC}\rVert. Trabalhamos com os quadrados dos comprimentos, então defina
a^2=\lVert \overrightarrow{BC}\rVert^2.
Seja b=\lVert \overrightarrow{CA}\rVert e
b^2=\lVert \overrightarrow{CA}\rVert^2.
Seja c=\lVert \overrightarrow{AB}\rVert e
c^2=\lVert \overrightarrow{AB}\rVert^2.
Agora calcule explicitamente a^2,b^2,c^2 usando a fórmula do Passo 3 para cada par de pontos.
Passo 5
Por que comparar quadrados de comprimentos funciona (pequena prova com a Lei dos Cossenos):
A Lei dos Cossenos para o ângulo \gamma=\angle C (oposto ao lado c) diz
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma).
Reescrevendo para \cos(\gamma):
\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
O sinal de \cos(\gamma) decide o tipo do ângulo:
\cos(\gamma)>0 se e somente se a^2+b^2-c^2>0 (ângulo agudo),
\cos(\gamma)=0 se e somente se a^2+b^2-c^2=0 (ângulo reto),
\cos(\gamma)<0 se e somente se a^2+b^2-c^2<0 (ângulo obtuso).
Para saber se o triângulo inteiro é agudo/reto/obtuso, basta verificar o maior dos lados: se o maior ângulo é agudo/reto/obtuso, então o triângulo inteiro é, respectivamente, agudo/reto/obtuso. Em termos de quadrados:
Ordene \{a^2,b^2,c^2\} e seja L o maior e s,t os outros dois. Então
se s+t>L o triângulo é agudo;
se s+t=L o triângulo é reto;
se s+t<L o triângulo é obtuso.
Isso vem diretamente de aplicar a relação anterior ao maior lado (o maior lado está oposto ao maior ângulo).
Passo 6
Algoritmo prático passo-a-passo (o que você faz na prova, sem calculadora pesada):
Identifique L=\max\{a^2,b^2,c^2\} e os outros dois s e t.
Compare s+t com L:
se s+t>L então o triângulo é agudo;
se s+t=L então o triângulo é reto;
se s+t<L então o triângulo é obtuso.
Passo 7
Observações numéricas e de cuidado (pra não apanhar em provas e computadores):
Como trabalhamos com quadrados, não precisamos extrair raízes nem usar arcos-cosseno — menos trabalho e menos erro.
Em cálculos numéricos com ponto flutuante (no computador) use uma tolerância \varepsilon e trate igualdade como |s+t-L|\le \varepsilon. Uma escolha prática é
\varepsilon = 10^{-9}\cdot\max\{a^2,b^2,c^2,1\}.
O enunciado assumiu que os pontos formam um triângulo não degenerado; se algum dos lados tiver comprimento zero ou se s+t=L por coincidência de pontos colineares, então os pontos são colineares e não formam triângulo.
Passo 8
Exemplo rápido e completo para fixar (faça igual na prova):