R4 Dado um triângulo com vértices A, B, C (em \mathbb{R}^{2} ou \mathbb{R}^{3} ), como decidir se o triângulo é agudo, obtuso ou reto sabendo somente as coordenadas destes pontos?

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos três vértices A,B,C (em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3) e pede para decidir se o triângulo ABC é agudo, reto ou obtuso sabendo somente essas coordenadas. Informações relevantes fornecidas:
A=(x_A,y_A[,z_A]),\qquad B=(x_B,y_B[,z_B]),\qquad C=(x_C,y_C[,z_C]).
Pergunta a responder: com apenas essas coordenadas, como determinar se o triângulo é
  • agudo (todos os ângulos menores que 90^\circ),
  • reto (um ângulo igual a 90^\circ),
  • ou obtuso (um ângulo maior que 90^\circ)?

Passo 2

Ideia geral que vamos usar (aqui só explico a escolha do método, sem desenvolver): em vez de calcular ângulos com arco-cosseno (que é trabalhoso e propenso a erros numéricos), vamos usar comprimentos dos lados e a relação da Lei dos Cossenos. Essa relação permite decidir o sinal do cosseno de um ângulo apenas comparando quadrados de comprimentos dos lados — ou seja, apenas usando operações com as coordenadas (subtrações, quadrados, somas). Isso é rápido e fácil de aplicar na prova.

Passo 3

Como obter o quadrado do comprimento de um lado a partir das coordenadas (aulas rápidas e óbvias, passo-a-passo):
  • Defina o vetor entre dois pontos como a diferença das coordenadas. Por exemplo, o vetor \overrightarrow{AB} é
\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,\;y_B-y_A[,\,z_B-z_A]).
  • O quadrado do comprimento de \overrightarrow{AB} (norma ao quadrado) é o produto interno do vetor por si mesmo:
\lVert \overrightarrow{AB}\rVert^2=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2[+(z_B-z_A)^2].
Obs.: se os pontos estão em \mathbb{R}^2 basta ignorar o termo com z.

Passo 4

Atribuição convencional dos lados e como calcular:
  • Seja a o comprimento do lado oposto a A, isto é a=\lVert \overrightarrow{BC}\rVert. Trabalhamos com os quadrados dos comprimentos, então defina
a^2=\lVert \overrightarrow{BC}\rVert^2.
  • Seja b=\lVert \overrightarrow{CA}\rVert e
b^2=\lVert \overrightarrow{CA}\rVert^2.
  • Seja c=\lVert \overrightarrow{AB}\rVert e
c^2=\lVert \overrightarrow{AB}\rVert^2.
Agora calcule explicitamente a^2,b^2,c^2 usando a fórmula do Passo 3 para cada par de pontos.

Passo 5

Por que comparar quadrados de comprimentos funciona (pequena prova com a Lei dos Cossenos):
  • A Lei dos Cossenos para o ângulo \gamma=\angle C (oposto ao lado c) diz
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma).
  • Reescrevendo para \cos(\gamma):
\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
  • O sinal de \cos(\gamma) decide o tipo do ângulo:
    • \cos(\gamma)>0 se e somente se a^2+b^2-c^2>0 (ângulo agudo),
    • \cos(\gamma)=0 se e somente se a^2+b^2-c^2=0 (ângulo reto),
    • \cos(\gamma)<0 se e somente se a^2+b^2-c^2<0 (ângulo obtuso).
  • Para saber se o triângulo inteiro é agudo/reto/obtuso, basta verificar o maior dos lados: se o maior ângulo é agudo/reto/obtuso, então o triângulo inteiro é, respectivamente, agudo/reto/obtuso. Em termos de quadrados:
    • Ordene \{a^2,b^2,c^2\} e seja L o maior e s,t os outros dois. Então
      • se s+t>L o triângulo é agudo;
      • se s+t=L o triângulo é reto;
      • se s+t<L o triângulo é obtuso.
        Isso vem diretamente de aplicar a relação anterior ao maior lado (o maior lado está oposto ao maior ângulo).

Passo 6

Algoritmo prático passo-a-passo (o que você faz na prova, sem calculadora pesada):
  1. Calcule
c^2=\lVert \overrightarrow{AB}\rVert^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2[+(z_B-z_A)^2],
a^2=\lVert \overrightarrow{BC}\rVert^2=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2[+(z_C-z_B)^2],
b^2=\lVert \overrightarrow{CA}\rVert^2=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2[+(z_A-z_C)^2].
  1. Identifique L=\max\{a^2,b^2,c^2\} e os outros dois s e t.
  2. Compare s+t com L:
    • se s+t>L então o triângulo é agudo;
    • se s+t=L então o triângulo é reto;
    • se s+t<L então o triângulo é obtuso.

Passo 7

Observações numéricas e de cuidado (pra não apanhar em provas e computadores):
  • Como trabalhamos com quadrados, não precisamos extrair raízes nem usar arcos-cosseno — menos trabalho e menos erro.
  • Em cálculos numéricos com ponto flutuante (no computador) use uma tolerância \varepsilon e trate igualdade como |s+t-L|\le \varepsilon. Uma escolha prática é
\varepsilon = 10^{-9}\cdot\max\{a^2,b^2,c^2,1\}.
  • O enunciado assumiu que os pontos formam um triângulo não degenerado; se algum dos lados tiver comprimento zero ou se s+t=L por coincidência de pontos colineares, então os pontos são colineares e não formam triângulo.

Passo 8

Exemplo rápido e completo para fixar (faça igual na prova):
  • Tome A=(0,0,0),\;B=(1,0,0),\;C=(0,1,0).
  • Calcule
c^2=\lVert \overrightarrow{AB}\rVert^2=(1-0)^2+(0-0)^2+(0-0)^2=1,
a^2=\lVert \overrightarrow{BC}\rVert^2=(0-1)^2+(1-0)^2+(0-0)^2=1+1=2,
b^2=\lVert \overrightarrow{CA}\rVert^2=(0-0)^2+(0-1)^2+(0-0)^2=1.
  • O maior é L=2 e os outros são s=1,\;t=1. Como s+t=1+1=2=L, concluímos que o triângulo é reto (é o clássico triângulo isósceles retângulo).

Resposta

Calcule os quadrados dos comprimentos dos lados
a^2=\lVert \overrightarrow{BC}\rVert^2,\qquad b^2=\lVert \overrightarrow{CA}\rVert^2,\qquad c^2=\lVert \overrightarrow{AB}\rVert^2.
Seja L=\max\{a^2,b^2,c^2\} e s,t os outros dois. Então:
\text{se }s+t>L\text{, o triângulo é agudo;}âé
\text{se }s+t=L\text{, o triângulo é reto;}âé
\text{se }s+t<L\text{, o triângulo é obtuso.}âé

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