R6.3 Escreva a equação que define o potencial químico da substância i ( a) em um sistema monofásico; (b) na fase \beta de um sistema de diversas fases.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
(a) Escrever a equação que define o potencial químico da substância i em um sistema monofásico.
(b) Escrever a equação que define o potencial químico da substância i na fase \beta de um sistema com várias fases.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • O potencial químico é uma grandeza termodinâmica associada à variação da energia livre quando se adiciona ou remove uma quantidade infinitesimal da substância i.
  • Em termodinâmica, usamos potenciais termodinâmicos como a energia livre de Gibbs para condições de temperatura e pressão constantes.
  • Na parte (b) precisamos relacionar o potencial químico especificamente à fase \beta (ou seja, à contribuição da fase \beta ao potencial total).

Passo 2

Vamos apresentar a função termodinâmica natural que usamos aqui: a energia livre de Gibbs. Por definição, a energia livre de Gibbs total G de um sistema pode ser escrita como função das variáveis naturais temperatura, pressão e quantidades de matéria:
G = G\bigl(T,p,\{n_i\}\bigr),
onde:
  • T é a temperatura,
  • p é a pressão,
  • n_i é o número de mols da substância i,
  • \{n_i\} indica a lista de todas as quantidades de cada componente.
Isso significa que, se mudarmos um pouco T, p ou algum n_i, o G mudará de acordo.

Passo 3

Agora escrevemos a diferencial total de G. A forma fundamental (resultado padrão da termodinâmica) é:
\mathrm{d}G = -S\,\mathrm{d}T + V\,\mathrm{d}p + \sum_{i} \mu_i\,\mathrm{d}n_i,
onde:
  • S é a entropia do sistema,
  • V é o volume do sistema,
  • \mu_i é o potencial químico da substância i,
  • \mathrm{d}n_i é a variação infinitesimal do número de mols da substância i.
Explicando: essa expressão diz como G muda quando alteramos T, p e as quantidades de cada componente. O coeficiente que multiplica \mathrm{d}n_i é, justamente, o potencial químico \mu_i.

Passo 4

A partir da diferencial acima, extraímos a definição matemática do potencial químico em um sistema monofásico (ou, em geral, de todo o sistema) como a derivada parcial de G em relação a n_i, mantendo T, p e os outros n_j constantes:
\mu_i = \left(\frac{\partial G}{\partial n_i}\right)_{T,p,\;n_{j\neq i}}.
Interpretação passo a passo:
  • O parêntese com subscritos significa "derivar mantendo constantes T, p e todas as outras quantidades n_j com j\neq i".
  • Essa definição formaliza a ideia: \mu_i é o acréscimo de energia livre de Gibbs por mol de i adicionado sob as condições indicadas.

Passo 5

É útil saber que há formas alternativas da definição, dependendo do potencial termodinâmico usado:
  • Se trabalharmos à temperatura e volume constantes, usamos a energia livre de Helmholtz A e então
\mu_i = \left(\frac{\partial A}{\partial n_i}\right)_{T,V,\;n_{j\neq i}}.
  • Em geral, o potencial químico é o “valor parcial” do potencial termodinâmico extensivo apropriado (G para T,p constantes, A para T,V constantes etc.). Não precisamos decorar todas, mas entender o conceito: é sempre a derivada parcial do potencial extensivo em relação a n_i, mantendo as outras variáveis naturais fixas.

Passo 6

Agora tratamos o caso da fase \beta. Em um sistema com várias fases, a fase \beta tem sua própria energia livre de Gibbs parcial G^\beta que depende das quantidades de matéria nessa fase:
G^\beta = G^\beta\bigl(T,p,\{n_i^\beta\}\bigr),
onde n_i^\beta é o número de mols da substância i presentes na fase \beta. Seguindo o mesmo raciocínio da diferencial, a variação de G^\beta é
\mathrm{d}G^\beta = -S^\beta\,\mathrm{d}T + V^\beta\,\mathrm{d}p + \sum_i \mu_i^\beta\,\mathrm{d}n_i^\beta,
e, portanto, o potencial químico da substância i na fase \beta é dado por:
\mu_i^\beta = \left(\frac{\partial G^\beta}{\partial n_i^\beta}\right)_{T,p,\;n_{j\neq i}^\beta}.
Explicação: é exatamente a mesma definição, aplicada ao potencial da fase \beta. Aqui \mu_i^\beta é chamado também de potencial químico parcial de i naquela fase — é o “preço” em energia livre de adicionar um mol de i especificamente na fase \beta, mantendo T, p e as outras quantidades naquela fase constantes.

Passo 7

Observações práticas e úteis para prova (resumindo e dando um exemplo):
  • Em equilíbrio entre fases, para cada componente i vale a condição
\mu_i^{\alpha} = \mu_i^{\beta} = \cdots,
ou seja, o potencial químico do mesmo componente é igual em todas as fases presentes (isso garante que não haja transferência espontânea de matéria).
  • Exemplo concreto (apenas para intuição): para uma mistura ideal de gases a temperatura T e pressão parcial p_i, temos
\mu_i = \mu_i^\circ(T) + RT\ln\!\bigl(\tfrac{p_i}{p^\circ}\bigr),
onde \mu_i^\circ(T) é a energia química padrão e p^\circ é uma pressão de referência. Isso mostra como a definição formal se traduz em fórmulas práticas.

Resposta

(a) \displaystyle \mu_i = \left(\frac{\partial G}{\partial n_i}\right)_{T,p,\;n_{j\neq i}}
(b) \displaystyle \mu_i^\beta = \left(\frac{\partial G^\beta}{\partial n_i^\beta}\right)_{T,p,\;n_{j\neq i}^\beta}

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