- (RA1) Considere as afirmativas abaixo e as analise como VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F) e justifique as falsas.
( ) Deslocamento ou elongação de uma partícula em movimento oscilatório é a distância da partícula até a posição de equilíbrio.
( ) Amplitude de um movimento oscilatório é o tempo que a partícula vai da posição de equilíbrio a um extremo da trajetória.
( ) A aceleração de um movimento harmônico simples é constante e diferente de zero.
( ) O período de um movimento harmônico simples independe da amplitude.
( ) Deslocamento ou elongação de uma partícula em movimento oscilatório é a distância da partícula até a posição de equilíbrio.
( ) Amplitude de um movimento oscilatório é o tempo que a partícula vai da posição de equilíbrio a um extremo da trajetória.
( ) A aceleração de um movimento harmônico simples é constante e diferente de zero.
( ) O período de um movimento harmônico simples independe da amplitude.
Passo 1
O enunciado pede que eu analise quatro afirmativas e diga se cada uma é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F), justificando as que forem falsas. As quatro afirmativas são:
- “Deslocamento ou elongação de uma partícula em movimento oscilatório é a distância da partícula até a posição de equilíbrio.”
- “Amplitude de um movimento oscilatório é o tempo que a partícula vai da posição de equilíbrio a um extremo da trajetória.”
- “A aceleração de um movimento harmônico simples é constante e diferente de zero.”
- “O período de um movimento harmônico simples independe da amplitude.”
Informações relevantes que tenho (implícitas no enunciado):
- Trata-se de conceitos de movimento oscilatório e, em particular, de movimento harmônico simples (quando mencionado).
- Preciso classificar cada afirmativa como V ou F e justificar as falsas.
Passo 2
Vamos entender o que é deslocamento (ou elongação) em oscilação e analisar a afirmativa 1.
Definição e ideia-chave:
- Em oscilação, escolhe-se uma posição de equilíbrio e uma coordenada
que mede a posição da partícula relativamente a esse equilíbrio. Essa coordenada pode ser positiva ou negativa dependendo do lado em que a partícula está. - Em movimento harmônico simples costuma-se escrever a posição como
onde:
-
é a elongação (deslocamento) em função do tempo (unidade: metro, por exemplo), -
é a amplitude (unidade de comprimento), -
é a frequência angular (unidade: rad/s), -
é a fase inicial (unidade: rad).
Por que a afirmativa 1 é falsa:
- A afirmativa diz que deslocamento/elongação “é a distância da partícula até a posição de equilíbrio”. A palavra “distância” normalmente indica um valor não negativo (módulo), sem sinal. Porém,
(elongação) é uma grandeza vetorial ao longo de uma linha e costuma ser representada por um número que pode ser positivo ou negativo, indicando o lado em relação ao equilíbrio. - Exemplo concreto: se o equilíbrio é
e a partícula está à direita, então a elongação é ; se está à esquerda, . Dizer apenas “distância” perderia o sinal. - Conclusão: a frase está errada porque confunde “deslocamento/elongação” com “distância” (módulo). O termo correto para “distância máxima” seria amplitude; para deslocamento usa-se a coordenada
que pode ser negativa.
Passo 3
Agora a afirmativa 2 (sobre amplitude) — explicar o que é amplitude e quanto tempo leva ir do equilíbrio ao extremo.
Definição:
- A amplitude é o valor máximo do módulo do deslocamento; isto é, para
como acima, a amplitude é . É uma medida de comprimento (metros), não de tempo.
Tempo do equilíbrio ao extremo:
- Numa oscilação harmônica simples com
, a partícula percorre uma oscilação completa em um período
- O tempo para ir da posição de equilíbrio até um extremo (ou seja, de
até ) é exatamente um quarto do período:
- Portanto, o “tempo que a partícula vai da posição de equilíbrio a um extremo” é
, que tem dimensão de tempo. Mas a amplitude é (dimensão de comprimento).
Por que a afirmativa 2 é falsa:
- Afirmar que “Amplitude … é o tempo …” confunde grandezas diferentes. A amplitude é um comprimento
; o tempo para ir do equilíbrio ao extremo é . São conceitos distintos.
Passo 4
Afirmativa 3 (aceleração constante?) — vamos derivar a aceleração em MHS e ver sua dependência temporal.
Derivando:
- Começo com
. - Velocidade é derivada:
. - Aceleração é derivada novamente:
. - Observação importante:
pode ser reescrita como
Isto é uma característica do movimento harmônico simples: a aceleração é proporcional à posição e aponta para o equilíbrio (sinal negativo).
Por que a afirmativa 3 é falsa:
- A fórmula mostra que
varia no tempo com a mesma forma de . Ela não é constante; varia entre e . - Exemplos de valores: quando
(equilíbrio) tem ; quando tem ; quando tem . Logo, não é constante e pode ser zero. Afirmativa é falsa.
Passo 5
Afirmativa 4 (período independe da amplitude) — analisar com o modelo de MHS e comentar exceções práticas.
Para um oscilador harmônico simples ideal:
- A equação de movimento linear é
onde
é a massa e
a constante elástica (para mola). A solução é
com
- O período é
Note que
não depende de
. Mesmo se
for maior ou menor,
permanece o mesmo no modelo linear.
Para o pêndulo simples (pequenas oscilações):
- A aproximação para pequenas amplitudes leva a uma equação linear equivalente com
que também independe de
(desde que a amplitude angular seja pequena).
Caveat — quando isso deixa de valer:
- Em sistemas não-lineares (por exemplo pêndulo com amplitude grande) o período passa a depender da amplitude; o pêndulo real tem uma correção e o período aumenta com amplitude, calculável via integrais elípticas.
- Mas a expressão “movimento harmônico simples” refere-se ao caso linear onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento (
), e nesse caso é independente de .
Conclusão sobre a afirmativa 4:
- Para um movimento harmônico simples ideal (definição de MHS), a afirmativa é verdadeira: o período independe da amplitude. É importante mencionar a exceção prática (grandes amplitudes em sistemas originalmente não-lineares), mas isso não invalida a verdade dentro do conceito de MHS.
Passo 6
Resumo rápido das justificativas para facilitar decorar para a prova:
- Deslocamento/elongação = coordenada
(com sinal). Não confundir com “distância” (módulo). - Amplitude
= máximo , grandeza de comprimento; o tempo do equilíbrio ao extremo é . - Aceleração em MHS:
, varia no tempo (não constante). - Período em MHS ideal:
, independentemente de . Em sistemas não-lineares ou fora da aproximação de MHS, pode ocorrer dependência.
Resposta
(F)
(F)
(F)
(V)
(F)
(F)
(V)