1. (RA1) Considere as afirmativas abaixo e as analise como VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F) e justifique as falsas.
    ( ) Deslocamento ou elongação de uma partícula em movimento oscilatório é a distância da partícula até a posição de equilíbrio. \_\_\_\_
    ( ) Amplitude de um movimento oscilatório é o tempo que a partícula vai da posição de equilíbrio a um extremo da trajetória. \_\_\_\_
    ( ) A aceleração de um movimento harmônico simples é constante e diferente de zero. \_\_\_\_
    ( ) O período de um movimento harmônico simples independe da amplitude. \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado pede que eu analise quatro afirmativas e diga se cada uma é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F), justificando as que forem falsas. As quatro afirmativas são:
  1. “Deslocamento ou elongação de uma partícula em movimento oscilatório é a distância da partícula até a posição de equilíbrio.”
  2. “Amplitude de um movimento oscilatório é o tempo que a partícula vai da posição de equilíbrio a um extremo da trajetória.”
  3. “A aceleração de um movimento harmônico simples é constante e diferente de zero.”
  4. “O período de um movimento harmônico simples independe da amplitude.”
Informações relevantes que tenho (implícitas no enunciado):
  • Trata-se de conceitos de movimento oscilatório e, em particular, de movimento harmônico simples (quando mencionado).
  • Preciso classificar cada afirmativa como V ou F e justificar as falsas.

Passo 2

Vamos entender o que é deslocamento (ou elongação) em oscilação e analisar a afirmativa 1.
Definição e ideia-chave:
  • Em oscilação, escolhe-se uma posição de equilíbrio e uma coordenada x que mede a posição da partícula relativamente a esse equilíbrio. Essa coordenada x pode ser positiva ou negativa dependendo do lado em que a partícula está.
  • Em movimento harmônico simples costuma-se escrever a posição como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • x(t) é a elongação (deslocamento) em função do tempo (unidade: metro, por exemplo),
  • A é a amplitude (unidade de comprimento),
  • \omega é a frequência angular (unidade: rad/s),
  • \varphi é a fase inicial (unidade: rad).
Por que a afirmativa 1 é falsa:
  • A afirmativa diz que deslocamento/elongação “é a distância da partícula até a posição de equilíbrio”. A palavra “distância” normalmente indica um valor não negativo (módulo), sem sinal. Porém, x(t) (elongação) é uma grandeza vetorial ao longo de uma linha e costuma ser representada por um número que pode ser positivo ou negativo, indicando o lado em relação ao equilíbrio.
  • Exemplo concreto: se o equilíbrio é x=0 e a partícula está 2\\ \text{cm} à direita, então a elongação é x=+0{,}02\\ \text{m}; se está 2\\ \text{cm} à esquerda, x=-0{,}02\\ \text{m}. Dizer apenas “distância” perderia o sinal.
  • Conclusão: a frase está errada porque confunde “deslocamento/elongação” com “distância” (módulo). O termo correto para “distância máxima” seria amplitude; para deslocamento usa-se a coordenada x que pode ser negativa.

Passo 3

Agora a afirmativa 2 (sobre amplitude) — explicar o que é amplitude e quanto tempo leva ir do equilíbrio ao extremo.
Definição:
  • A amplitude é o valor máximo do módulo do deslocamento; isto é, para x(t) como acima, a amplitude é A=\max_t |x(t)|. É uma medida de comprimento (metros), não de tempo.
Tempo do equilíbrio ao extremo:
  • Numa oscilação harmônica simples com x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), a partícula percorre uma oscilação completa em um período
T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • O tempo para ir da posição de equilíbrio até um extremo (ou seja, de x=0 até |x|=A) é exatamente um quarto do período:
t_{\text{eq}\to\text{ext}}=\frac{T}{4}=\frac{\pi}{2\omega}.
  • Portanto, o “tempo que a partícula vai da posição de equilíbrio a um extremo” é T/4, que tem dimensão de tempo. Mas a amplitude é A (dimensão de comprimento).
Por que a afirmativa 2 é falsa:
  • Afirmar que “Amplitude … é o tempo …” confunde grandezas diferentes. A amplitude é um comprimento A; o tempo para ir do equilíbrio ao extremo é T/4. São conceitos distintos.

Passo 4

Afirmativa 3 (aceleração constante?) — vamos derivar a aceleração em MHS e ver sua dependência temporal.
Derivando:
  • Começo com x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
  • Velocidade é derivada: v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • Aceleração é derivada novamente: a(t)=\ddot x(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).
  • Observação importante: a(t) pode ser reescrita como
a(t)=-\omega^2 x(t).
Isto é uma característica do movimento harmônico simples: a aceleração é proporcional à posição e aponta para o equilíbrio (sinal negativo).
Por que a afirmativa 3 é falsa:
  • A fórmula mostra que a(t) varia no tempo com a mesma forma de x(t). Ela não é constante; varia entre -\omega^2 A e +\omega^2 A.
  • Exemplos de valores: quando x=0 (equilíbrio) tem a=0; quando x=+A tem a=-\omega^2 A; quando x=-A tem a=+\omega^2 A. Logo, não é constante e pode ser zero. Afirmativa é falsa.

Passo 5

Afirmativa 4 (período independe da amplitude) — analisar com o modelo de MHS e comentar exceções práticas.
Para um oscilador harmônico simples ideal:
  • A equação de movimento linear é
m\ddot x + kx = 0,
onde m é a massa e k a constante elástica (para mola). A solução é x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) com
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
  • O período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Note que T não depende de A. Mesmo se A for maior ou menor, T permanece o mesmo no modelo linear.
Para o pêndulo simples (pequenas oscilações):
  • A aproximação para pequenas amplitudes leva a uma equação linear equivalente com
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
que também independe de A (desde que a amplitude angular seja pequena).
Caveat — quando isso deixa de valer:
  • Em sistemas não-lineares (por exemplo pêndulo com amplitude grande) o período passa a depender da amplitude; o pêndulo real tem uma correção e o período aumenta com amplitude, calculável via integrais elípticas.
  • Mas a expressão “movimento harmônico simples” refere-se ao caso linear onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento ( F=-kx), e nesse caso T é independente de A.
Conclusão sobre a afirmativa 4:
  • Para um movimento harmônico simples ideal (definição de MHS), a afirmativa é verdadeira: o período independe da amplitude. É importante mencionar a exceção prática (grandes amplitudes em sistemas originalmente não-lineares), mas isso não invalida a verdade dentro do conceito de MHS.

Passo 6

Resumo rápido das justificativas para facilitar decorar para a prova:
  • Deslocamento/elongação = coordenada x(t) (com sinal). Não confundir com “distância” (módulo).
  • Amplitude A = máximo |x|, grandeza de comprimento; o tempo do equilíbrio ao extremo é T/4.
  • Aceleração em MHS: a(t)=-\omega^2 x(t), varia no tempo (não constante).
  • Período em MHS ideal: T=2\pi/\omega, independentemente de A. Em sistemas não-lineares ou fora da aproximação de MHS, pode ocorrer dependência.

Resposta

(F)
(F)
(F)
(V)

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