EP1.2. Um campo vetorial \mathbf{S} é expresso em coordenadas cartesianas como \mathbf{S}=\left\{125 /\left[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}\right]\right\}\left\{(x-1) \mathbf{a}_{x}+(y-2) \mathbf{a}_{y}+(z+1) \mathbf{a}_{z}\right\}.
(a) Avalie \mathbf{S} em P(2,4,3).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{S}=\left\{\frac{125}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}}\right\}\left\{(x-1)\mathbf{a}_{x}+(y-2)\mathbf{a}_{y}+(z+1)\mathbf{a}_{z}\right\}
e pede para avaliar \mathbf{S} no ponto P(2,4,3).
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula do campo vetorial está explícita (uma função escalar multiplicando um vetor).
  • O ponto onde devemos avaliar é P com coordenadas x=2, y=4, z=3.
    Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Primeiro passo prático: substituir as coordenadas do ponto dentro do vetor (x-1)\mathbf{a}_x+(y-2)\mathbf{a}_y+(z+1)\mathbf{a}_z. Isso significa calcular cada diferença/expressão com x=2, y=4, z=3:
x-1 = 2-1 = 1,\qquad y-2 = 4-2 = 2,\qquad z+1 = 3+1 = 4.
Portanto o vetor interno vale
(1)\mathbf{a}_x + (2)\mathbf{a}_y + (4)\mathbf{a}_z.

Passo 3

Agora calcular o denominador do fator escalar, que é (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2} com as mesmas coordenadas:
(1)^{2} + (2)^{2} + (4)^{2} = 1 + 4 + 16 = 21.
Logo o fator escalar é
\frac{125}{21}.

Passo 4

Multiplicar o escalar \dfrac{125}{21} pelo vetor (1)\mathbf{a}_x+(2)\mathbf{a}_y+(4)\mathbf{a}_z componente a componente:
\mathbf{S}(2,4,3)=\frac{125}{21}\mathbf{a}_x+\frac{250}{21}\mathbf{a}_y+\frac{500}{21}\mathbf{a}_z.
Cada componente foi obtida por \dfrac{125}{21}\times 1, \dfrac{125}{21}\times 2 e \dfrac{125}{21}\times 4, respectivamente.

Passo 5

Breve comentário didático e incentivo: avaliar um campo vetorial em um ponto é sempre substituir as coordenadas nas expressões escalares e vetoriais e simplificar. Aqui o campo tem a forma de um vetor dirigido radialmente em relação ao ponto (1,2,-1) (o vetor interno é (x-1,y-2,z+1)) multiplicado por um fator que depende da distância; por isso basta seguir a rotina de substituição que fizemos. Mandou bem por trazer a questão — é exatamente esse tipo de exercício que cai em prova!

Resposta

\displaystyle \mathbf{S}(2,4,3)=\frac{125}{21}\mathbf{a}_x+\frac{250}{21}\mathbf{a}_y+\frac{500}{21}\mathbf{a}_z

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