EP1.2. Um campo vetorial \mathbf{S} é expresso em coordenadas cartesianas como \mathbf{S}=\left\{125 /\left[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}\right]\right\}\left\{(x-1) \mathbf{a}_{x}+(y-2) \mathbf{a}_{y}+(z+1) \mathbf{a}_{z}\right\}.
(c) Especifique a superfície f(x, y, z), onde |\mathbf{S}|=1.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{S} e pede a superfície f(x,y,z) tal que |\mathbf{S}|=1.
Informações fornecidas:
  • \displaystyle \mathbf{S}=\left\{\frac{125}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}}\right\}\big\{(x-1)\mathbf{a}_x+(y-2)\mathbf{a}_y+(z+1)\mathbf{a}_z\big\}.
O que se deve entregar:
  • Uma função f(x,y,z) cuja superfície f(x,y,z)=0 é exatamente o conjunto de pontos onde |\mathbf{S}|=1.

Passo 2

Para facilitar, defino o vetor posição deslocado e sua norma (distância ao centro (1,2,-1)):
\mathbf{r}=(x-1)\mathbf{a}_x+(y-2)\mathbf{a}_y+(z+1)\mathbf{a}_z, \qquad r=\|\mathbf{r}\|=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2}.
Assim o campo pode ser reescrito de forma compacta como
\mathbf{S}=\frac{125}{r^{2}}\,\mathbf{r}.
Aqui expliquei: \mathbf{r} é o vetor que vai do ponto (1,2,-1) até (x,y,z), e r é seu comprimento (sempre não negativo).

Passo 3

Usamos a propriedade da norma de um produto escalar por constante: \|\alpha\mathbf{v}\|=|\alpha|\,\|\mathbf{v}\| para qualquer escalar \alpha e vetor \mathbf{v}. Aplicando isso a \mathbf{S}=\dfrac{125}{r^{2}}\mathbf{r} obtemos:
\|\mathbf{S}\|=\left|\frac{125}{r^{2}}\right|\,\|\mathbf{r}\|.
Como r>0 (exceto no centro onde o campo seria singular), podemos simplificar:
\|\mathbf{S}\|=\frac{125}{r^{2}}\cdot r=\frac{125}{r}.
Portanto, a magnitude do campo num ponto depende só da distância r ao ponto (1,2,-1).

Passo 4

Impondo a condição \|\mathbf{S}\|=1 temos a equação
\frac{125}{r}=1.
Resolvendo para r:
r=125.
Agora elevamos ao quadrado para obter a equação explícita em x,y,z:
r^{2}=(125)^{2}=15625.
Lembrando a definição de r^{2},
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=15625.

Passo 5

A equação acima é a equação de uma esfera de centro (1,2,-1) e raio 125. Para fornecer f(x,y,z) no formato pedido (função cuja superfície é a nulidade), definimos
f(x,y,z)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}-15625.
Assim a superfície onde |\mathbf{S}|=1 é dada por f(x,y,z)=0.

Resposta

f(x,y,z)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}-15625

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