- (RA1) Qual é a posição em função da amplitude em que um corpo em MHS tem a energia cinética do sistema igual a energia potencial em função da amplitude?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual é a posição em função da amplitude em que um corpo em MHS tem a energia cinética do sistema igual à energia potencial em função da amplitude?”
Informações que temos (essas são as coisas que o enunciado pressupõe):
Informações que temos (essas são as coisas que o enunciado pressupõe):
- Existe um movimento harmônico simples (MHS) com amplitude
. - Queremos a(s) posição(ões)
(em função de ) onde a energia cinética do corpo é igual à energia potencial (ou seja, ).
Não há outros dados numéricos fornecidos; a resposta deve ser uma expressão em termos de.
Passo 2
Lembrando as expressões de energia no caso típico de MHS (por exemplo massa presa a mola ideal):
- Energia potencial elástica como função da posição
:
onde
é a constante da mola e
é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio.
Explanação: a energia potencial elástica cresce com o quadrado da posição porque a mola armazena energia proporcional à deformação ao quadrado.
Explanação: a energia potencial elástica cresce com o quadrado da posição porque a mola armazena energia proporcional à deformação ao quadrado.
Passo 3
- Energia cinética do corpo:
onde
é a massa e
é a velocidade instantânea.
Explanação: energia cinética depende da massa e do quadrado da velocidade.
Explanação: energia cinética depende da massa e do quadrado da velocidade.
Passo 4
- Energia total do sistema em MHS (constante ao longo do tempo, assumindo sem atrito):
onde
é a amplitude máxima do movimento.
Explicação: no extremo a velocidade é zero, então toda a energia é potencial:
.
Explicação: no extremo
Passo 5
Pelo princípio da conservação da energia no MHS:
Substituindo
e
, podemos escrever a energia cinética em função de
:
Explicação: essa fórmula mostra quanto da energia total está em forma cinética quando o corpo está na posição
.
Passo 6
Agora imponhamos a condição pedida: energia cinética igual à energia potencial, ou seja
. Usando as expressões:
Podemos simplificar ambos os lados: primeiro multiplicando por
e dividindo por
(assumindo
):
Detalhe do passo: a constante
aparece em ambos os lados, então ela se cancela — por isso não precisamos do valor de
para encontrar
em função de
.
Passo 7
Resolver a equação obtida:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas possibilidades de sinal):
Interpretação física: existem duas posições simétricas em relação ao equilíbrio (uma à direita e outra à esquerda) onde metade da energia está em forma cinética e metade em potencial.
Passo 8
Comentário adicional (útil na prova): se a posição for escrita como fração da amplitude,
ou seja, quando o corpo está a cerca de
da amplitude a partir do equilíbrio, as energias cinética e potencial são iguais. Outra forma de ver isso é usar
; então
e
(mais as periodicitades), que dá os mesmos
.