1. (RA1) Qual é a posição em função da amplitude em que um corpo em MHS tem a energia cinética do sistema igual a energia potencial em função da amplitude?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é a posição em função da amplitude em que um corpo em MHS tem a energia cinética do sistema igual à energia potencial em função da amplitude?”
Informações que temos (essas são as coisas que o enunciado pressupõe):
  • Existe um movimento harmônico simples (MHS) com amplitude A.
  • Queremos a(s) posição(ões) x (em função de A) onde a energia cinética do corpo é igual à energia potencial (ou seja, K=U).
    Não há outros dados numéricos fornecidos; a resposta deve ser uma expressão em termos de A.

Passo 2

Lembrando as expressões de energia no caso típico de MHS (por exemplo massa presa a mola ideal):
  • Energia potencial elástica como função da posição x:
U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde k é a constante da mola e x é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio.
Explanação: a energia potencial elástica cresce com o quadrado da posição porque a mola armazena energia proporcional à deformação ao quadrado.

Passo 3

  • Energia cinética do corpo:
K=\tfrac{1}{2}m v^{2},
onde m é a massa e v é a velocidade instantânea.
Explanação: energia cinética depende da massa e do quadrado da velocidade.

Passo 4

  • Energia total do sistema em MHS (constante ao longo do tempo, assumindo sem atrito):
E=\tfrac{1}{2}k A^{2},
onde A é a amplitude máxima do movimento.
Explicação: no extremo x=\pm A a velocidade é zero, então toda a energia é potencial: E=U(A)=\tfrac{1}{2}kA^{2}.

Passo 5

Pelo princípio da conservação da energia no MHS:
E=K+U.
Substituindo E=\tfrac{1}{2}kA^{2} e U=\tfrac{1}{2}k x^{2}, podemos escrever a energia cinética em função de x:
K=E-U=\tfrac{1}{2}kA^{2}-\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).
Explicação: essa fórmula mostra quanto da energia total está em forma cinética quando o corpo está na posição x.

Passo 6

Agora imponhamos a condição pedida: energia cinética igual à energia potencial, ou seja K=U. Usando as expressões:
\tfrac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}k x^{2}.
Podemos simplificar ambos os lados: primeiro multiplicando por 2 e dividindo por k (assumindo k\neq0):
A^{2}-x^{2}=x^{2}.
Detalhe do passo: a constante \tfrac{1}{2}k aparece em ambos os lados, então ela se cancela — por isso não precisamos do valor de k para encontrar x em função de A.

Passo 7

Resolver a equação obtida:
A^{2}-x^{2}=x^{2}\quad\Longrightarrow\quad A^{2}=2x^{2}.
Isolando x^{2}:
x^{2}=\tfrac{A^{2}}{2}.
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas possibilidades de sinal):
x=\pm\frac{A}{\sqrt{2}}.
Interpretação física: existem duas posições simétricas em relação ao equilíbrio (uma à direita e outra à esquerda) onde metade da energia está em forma cinética e metade em potencial.

Passo 8

Comentário adicional (útil na prova): se a posição for escrita como fração da amplitude,
\frac{|x|}{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0{,}707,
ou seja, quando o corpo está a cerca de 70{,}7\% da amplitude a partir do equilíbrio, as energias cinética e potencial são iguais. Outra forma de ver isso é usar x=A\cos\varphi; então \cos^{2}\varphi=\tfrac{1}{2} e \varphi=\pm\pi/4 (mais as periodicitades), que dá os mesmos x.

Resposta

x=\pm\dfrac{A}{\sqrt{2}}

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