- (RA2) Um corpo de
, sobre uma superfície horizontal sem atrito, está preso a uma das extremidades de uma mola horizontal de constante de força
. A mola é distendida de
a partir do equilíbrio e largada. Quais são:
(a) a frequência do movimento; (b) o período; (c) a amplitude; (d) a velocidade máxima; (e) a aceleração máxima; (f) quando o corpo atinge pela primeira vez sua posição de equilíbrio? Neste instante, qual é a sua aceleração?
(a) a frequência do movimento; (b) o período; (c) a amplitude; (d) a velocidade máxima; (e) a aceleração máxima; (f) quando o corpo atinge pela primeira vez sua posição de equilíbrio? Neste instante, qual é a sua aceleração?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas:
- Massa do corpo:
. - Constante da mola:
. - Deslocamento inicial (a mola é esticada a partir da posição de equilíbrio):
. Vou converter para metros: . - A superfície é sem atrito e o corpo é “largado” a partir dessa posição esticada, ou seja, a velocidade inicial é nula.
O enunciado pede:
(a) a frequência do movimento;
(b) o período;
(c) a amplitude;
(d) a velocidade máxima;
(e) a aceleração máxima;
(f) quando o corpo atinge pela primeira vez sua posição de equilíbrio? E, neste instante, qual é a sua aceleração?
(a) a frequência do movimento;
(b) o período;
(c) a amplitude;
(d) a velocidade máxima;
(e) a aceleração máxima;
(f) quando o corpo atinge pela primeira vez sua posição de equilíbrio? E, neste instante, qual é a sua aceleração?
Passo 2
Modelo físico e fórmulas essenciais (explicação didática).
Quando um bloco preso a uma mola ideal, sem atrito, oscila para pequenas oscilações em linha reta, o movimento é um movimento harmônico simples (MHS). A equação da dinâmica (segunda lei de Newton + Lei de Hooke) dá:
Isto é uma equação diferencial cujo movimento solução é uma oscilação harmônica com frequência angular
dada por:
Explicando as variáveis:
-
é a frequência angular, em rad/s. -
é a constante elástica da mola, em N/m. -
é a massa, em kg.
A relação entre frequência angular
, frequência (ciclos por segundo)
e período
é:
A amplitude
do MHS é o módulo do deslocamento máximo; como o bloco foi largado da posição
com velocidade inicial zero, então
é exatamente o deslocamento inicial:
.
Velocidade e aceleração no MHS: se
, então
A velocidade máxima (em módulo) é
pois
. A aceleração máxima (em módulo) é
pois
. Observação alternativa:
também pode ser obtido por
, já que
.
Para o instante em que o corpo atinge a posição de equilíbrio (
), se a condição inicial é
e
, então a solução é
. A primeira vez que
ocorre quando
, ou seja, quando
. Portanto o tempo é
A aceleração naquele instante é
. Como
, tem-se
.
Passo 3
Cálculo numérico de
.
Usando
:
Passo 4
Frequência
e período
.
A frequência é
O período é
Passo 5
Amplitude
.
Como o bloco foi largado a partir de
, a amplitude é
Passo 6
Velocidade máxima
.
Usando
:
Passo 7
Aceleração máxima
.
Usando
e lembrando que
:
(Verificação alternativa:
.)
Passo 8
Tempo para atingir a primeira vez a posição de equilíbrio e aceleração nesse instante.
Tempo:
A aceleração nesse instante:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
a aceleração nesse instante:
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
a aceleração nesse instante: