1. (RA2) Um corpo de 5,00 \mathrm{~kg}, sobre uma superfície horizontal sem atrito, está preso a uma das extremidades de uma mola horizontal de constante de força k=700 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A mola é distendida de 8,00 \mathrm{~cm} a partir do equilíbrio e largada. Quais são:
    (a) a frequência do movimento; (b) o período; (c) a amplitude; (d) a velocidade máxima; (e) a aceleração máxima; (f) quando o corpo atinge pela primeira vez sua posição de equilíbrio? Neste instante, qual é a sua aceleração?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas:
  • Massa do corpo: m=5{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=700\\ \mathrm{N/m}.
  • Deslocamento inicial (a mola é esticada a partir da posição de equilíbrio): 8{,}00\\ \mathrm{cm}. Vou converter para metros: 8{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0800\\ \mathrm{m}.
  • A superfície é sem atrito e o corpo é “largado” a partir dessa posição esticada, ou seja, a velocidade inicial é nula.
O enunciado pede:
(a) a frequência do movimento;
(b) o período;
(c) a amplitude;
(d) a velocidade máxima;
(e) a aceleração máxima;
(f) quando o corpo atinge pela primeira vez sua posição de equilíbrio? E, neste instante, qual é a sua aceleração?

Passo 2

Modelo físico e fórmulas essenciais (explicação didática).
Quando um bloco preso a uma mola ideal, sem atrito, oscila para pequenas oscilações em linha reta, o movimento é um movimento harmônico simples (MHS). A equação da dinâmica (segunda lei de Newton + Lei de Hooke) dá:
m\ddot{x} = -k x.
Isto é uma equação diferencial cujo movimento solução é uma oscilação harmônica com frequência angular \omega dada por:
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Explicando as variáveis:
  • \omega é a frequência angular, em rad/s.
  • k é a constante elástica da mola, em N/m.
  • m é a massa, em kg.
A relação entre frequência angular \omega, frequência (ciclos por segundo) f e período T é:
f = \dfrac{\omega}{2\pi}, \qquad T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{2\pi}{\omega}.
A amplitude A do MHS é o módulo do deslocamento máximo; como o bloco foi largado da posição x(0)=+A com velocidade inicial zero, então A é exatamente o deslocamento inicial: A=0{,}0800\\ \mathrm{m}.
Velocidade e aceleração no MHS: se x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), então
v(t)=\dot{x}(t) = -A\omega \sin(\omega t+\varphi), \qquad a(t)=\ddot{x}(t) = -A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi) = -\omega^{2} x(t).
A velocidade máxima (em módulo) é
v_{\max} = A\omega,
pois |\sin|\le 1. A aceleração máxima (em módulo) é
a_{\max} = A\omega^{2},
pois |\cos|\le 1. Observação alternativa: a_{\max} também pode ser obtido por a_{\max}=\dfrac{kA}{m}, já que \omega^{2}=k/m.
Para o instante em que o corpo atinge a posição de equilíbrio ( x=0), se a condição inicial é x(0)=A e v(0)=0, então a solução é x(t)=A\cos(\omega t). A primeira vez que x(t)=0 ocorre quando \cos(\omega t)=0, ou seja, quando \omega t=\pi/2. Portanto o tempo é
t_{\text{eq}}=\dfrac{\pi}{2\omega} = \dfrac{T}{4}.
A aceleração naquele instante é a(t_{\text{eq}})=-\omega^{2}x(t_{\text{eq}}). Como x(t_{\text{eq}})=0, tem-se a(t_{\text{eq}})=0.

Passo 3

Cálculo numérico de \omega.
Usando \omega=\sqrt{k/m}:
\omega = \sqrt{\dfrac{700}{5{,}00}}=\sqrt{140}\approx 11{,}8321596\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Frequência f e período T.
A frequência é
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{11{,}8321596}{2\pi}\approx 1{,}8849556\\ \mathrm{Hz}.
O período é
T=\dfrac{1}{f}\approx 0{,}5305165\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Amplitude A.
Como o bloco foi largado a partir de 8{,}00\\ \mathrm{cm}, a amplitude é
A=0{,}0800\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Velocidade máxima v_{\max}.
Usando v_{\max}=A\omega:
v_{\max} = 0{,}0800\cdot 11{,}8321596 \approx 0{,}9465728\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Aceleração máxima a_{\max}.
Usando a_{\max}=A\omega^{2} e lembrando que \omega^{2}=k/m=140:
a_{\max} = A\omega^{2} = 0{,}0800\cdot 140 = 11{,}2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Verificação alternativa: a_{\max}=(kA)/m=(700\cdot 0{,}0800)/5{,}00=56/5=11{,}2.)

Passo 8

Tempo para atingir a primeira vez a posição de equilíbrio e aceleração nesse instante.
Tempo:
t_{\text{eq}}=\dfrac{\pi}{2\omega} = \dfrac{T}{4} \approx \dfrac{0{,}5305165}{4}\approx 0{,}1326291\\ \mathrm{s}.
A aceleração nesse instante:
a(t_{\text{eq}}) = -\omega^{2} x(t_{\text{eq}}) = -\omega^{2}\cdot 0 = 0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) f \approx 1{,}88\\ \mathrm{Hz}
(b) T \approx 0{,}531\\ \mathrm{s}
(c) A = 0{,}0800\\ \mathrm{m}
(d) v_{\max} \approx 0{,}947\\ \mathrm{m/s}
(e) a_{\max} = 11{,}2\\ \mathrm{m/s^{2}}
(f) t_{\text{eq}} \approx 0{,}133\\ \mathrm{s}
a aceleração nesse instante: 0\\ \mathrm{m/s^{2}}

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