1. (RA1) Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}). Em algum instante t, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x=0,100 \mathrm{~m}, v= -13,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a=-123 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcule (a) a freqüência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (valores extraídos do enunciado):
  • Constante da mola: k=400\\ \mathrm{N/m}.
  • Em algum instante t foi medido:
    • posição: x=0,100\\ \mathrm{m} (medida a partir do equilíbrio),
    • velocidade: v=-13,6\\ \mathrm{m/s},
    • aceleração: a=-123\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado pede:
(a) a frequência de oscilação;
(b) a massa do bloco;
(c) a amplitude do movimento.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar passo a passo as fórmulas que descrevem um oscilador massa-mola em movimento harmônico simples (MHS).
  • Equação de movimento (lei de Hooke + Segunda lei de Newton):
m\ddot{x} = -k x.
Aqui m é a massa, x(t) é a posição em função do tempo, e k é a constante da mola.
  • Definição da pulsação (frequência angular) \omega:
\omega^{2}=\frac{k}{m}.
\omega mede quantos radianos por segundo o sistema “varre”; é relacionada à frequência comum f por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Relação aceleração–posição no MHS: como \ddot{x}=-\omega^{2}x, em qualquer instante vale
a=\ddot{x}=-\omega^{2}x.
Isto é muito útil: conhecendo a e x num instante pode-se calcular \omega.
  • Solução geral e relação velocidade–posição: a solução pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude e \varphi a fase. A velocidade é
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Eliminando a fase entre estas duas expressões obtém-se a relação
v^{2}=\omega^{2}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).
Desse modo, conhecendo x, v e \omega num instante, pode-se achar A.
Vou usar essas três relações diretas: a=-\omega^{2}x para \omega, \omega^{2}=k/m para m e v^{2}=\omega^{2}(A^{2}-x^{2}) para A.

Passo 3

Calcular \omega a partir de a=-\omega^{2}x.
Reescrevendo:
\omega^{2} = -\frac{a}{x}.
Substituindo os valores dados ( a=-123, x=0,100):
\omega^{2} = -\frac{-123}{0,100} = \frac{123}{0,100} = 1230.
Logo
\omega = \sqrt{1230}\approx 35,071\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a frequência f em hertz usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega:
f = \frac{\sqrt{1230}}{2\pi} \approx \frac{35,071}{2\pi}\approx 5,58\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular a massa m usando \omega^{2}=\dfrac{k}{m}, logo m=\dfrac{k}{\omega^{2}}.
Substituindo k=400 e \omega^{2}=1230:
m = \frac{400}{1230}\approx 0,3252\\ \mathrm{kg}.
Arredondando razoavelmente:
m\approx 0,325\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular a amplitude A usando v^{2}=\omega^{2}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr). Isolando A^{2}:
A^{2} = x^{2} + \frac{v^{2}}{\omega^{2}}.
Compute as parcelas:
x^{2} = (0,100)^{2} = 0,0100.
v^{2} = (-13,6)^{2} = 184,96.
\frac{v^{2}}{\omega^{2}} = \frac{184,96}{1230}\approx 0,1503.
Somando:
A^{2} = 0,0100 + 0,1503 = 0,1603.
Logo
A = \sqrt{0,1603}\approx 0,4004\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
A\approx 0,400\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cheque rápido de consistência (intuitivo e útil na hora da prova): x é positivo ( 0,100\\ \mathrm{m}) e a é negativo ( -123\\ \mathrm{m/s^{2}}), portanto a aceleração aponta para o centro restaurador — isto está consistente com o sinal de a=-\omega^{2}x. Os valores numéricos obtidos são coerentes entre si.

Resposta

(a) f \approx 5,58\\ \mathrm{Hz}
(b) m \approx 0,325\\ \mathrm{kg}
(c) A \approx 0,400\\ \mathrm{m}

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