- (RA1) Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola
. Em algum instante
, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são
e
. Calcule (a) a freqüência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (valores extraídos do enunciado):
- Constante da mola:
. - Em algum instante
foi medido: - posição:
(medida a partir do equilíbrio), - velocidade:
, - aceleração:
.
- posição:
O enunciado pede:
(a) a frequência de oscilação;
(b) a massa do bloco;
(c) a amplitude do movimento.
(a) a frequência de oscilação;
(b) a massa do bloco;
(c) a amplitude do movimento.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar passo a passo as fórmulas que descrevem um oscilador massa-mola em movimento harmônico simples (MHS).
- Equação de movimento (lei de Hooke + Segunda lei de Newton):
Aqui
é a massa,
é a posição em função do tempo, e
é a constante da mola.
- Definição da pulsação (frequência angular)
:
- Relação aceleração–posição no MHS: como
, em qualquer instante vale
Isto é muito útil: conhecendo
e
num instante pode-se calcular
.
- Solução geral e relação velocidade–posição: a solução pode ser escrita como
onde
é a amplitude e
a fase. A velocidade é
Eliminando a fase entre estas duas expressões obtém-se a relação
Desse modo, conhecendo
,
e
num instante, pode-se achar
.
Vou usar essas três relações diretas:
para
,
para
e
para
.
Passo 3
Calcular
a partir de
.
Reescrevendo:
Substituindo os valores dados (
,
):
Logo
Passo 4
Calcular a frequência
em hertz usando
.
Substituindo
:
Passo 5
Calcular a massa
usando
, logo
.
Substituindo
e
:
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Calcular a amplitude
usando
. Isolando
:
Compute as parcelas:
Somando:
Logo
Arredondando:
Passo 7
Cheque rápido de consistência (intuitivo e útil na hora da prova):
é positivo (
) e
é negativo (
), portanto a aceleração aponta para o centro restaurador — isto está consistente com o sinal de
. Os valores numéricos obtidos são coerentes entre si.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)