- (RA2) Quando a temperatura de uma moeda de cobre é aumentada de 100 C , o diâmetro aumenta de
. Determine, com precisão de dois algarismos significativos, o aumento percentual (a) da área, (b) da espessura, (c) do volume e (d) da massa específica da moeda. (e) Calcule o coeficiente de dilatação linear da moeda.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: o aquecimento da moeda provoca um aumento do diâmetro de
quando a temperatura é aumentada em . - Isso significa: a razão de variação linear (fração de aumento no comprimento) é
(onde representa qualquer dimensão linear, por exemplo o diâmetro). - Perguntas:
(a) determinar o aumento percentual da área da moeda;
(b) determinar o aumento percentual da espessura da moeda;
(c) determinar o aumento percentual do volume da moeda;
(d) determinar o aumento percentual da massa específica (densidade) da moeda;
(e) calcular o coeficiente de dilatação linear da moeda.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Dilatação linear: para um corpo isotrópico e homogêneo, o aumento relativo de qualquer dimensão linear é dado por
onde:
-
é a variação do comprimento, -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade: ), -
é a variação de temperatura em . -
Dilatação superficial (área): se uma área
depende de um comprimento como , então para pequenas variações vale, por diferenciação ou expansão de binômio,
Intuição: se cada comprimento cresce
, a área cresce aproximadamente
quando
é pequeno.
- Dilatação volumétrica: se o volume
, então, para pequenas variações,
Intuição: cada uma das três dimensões contribui com uma parcela
.
- Densidade (massa específica): a massa
é constante ao aquecer (não há perda de massa), e a densidade é . Assim, a variação relativa da densidade é
Logo, quando o volume aumenta, a densidade diminui com a mesma fração, mas com sinal contrário.
Todas essas aproximações são válidas porque as variações percentuais dadas são pequenas (ordem de
), então termos quadráticos e superiores podem ser desprezados.
Passo 3
Converter o aumento percentual do diâmetro em variação relativa numérica:
- O enunciado diz que o diâmetro aumenta
. Transformando para fração:
Passo 4
Calcular o coeficiente de dilatação linear
(item (e)) usando
.
- Sabendo que
e , temos
Explicação da unidade:
é fração por grau Celsius; aqui
significa que cada grau Celsius aumenta um comprimento em
.
Passo 5
Calcular o aumento percentual da área (item (a)).
- Usando
:
- Em porcentagem:
Passo 6
Calcular o aumento percentual da espessura (item (b)).
- A espessura é uma dimensão linear. Para dilatação isotrópica ela cresce com a mesma razão linear:
ou seja, em porcentagem:
Observação amigável: mesmo que a moeda seja fina, o material expande na espessura da mesma forma (assumindo material isotrópico).
Passo 7
Calcular o aumento percentual do volume (item (c)).
- Usando
:
- Em porcentagem:
Passo 8
Calcular a variação percentual da massa específica (densidade) (item (d)).
- Como
, então
- Em porcentagem:
ou seja, a massa específica diminui
.
Passo 9
Arredondamento e apresentação com duas cifras significativas:
- (a) aumento da área:
(duas cifras significativas). - (b) aumento da espessura:
(duas cifras). - (c) aumento do volume:
(duas cifras). - (d) variação da massa específica: diminuição de
(duas cifras). - (e) coeficiente de dilatação linear:
(duas cifras).
Força aí — está feito! Essas fórmulas e passos servem sempre que souberes a variação linear e quiseres achar área, volume e densidade.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) diminuição de
(e)
(b)
(c)
(d) diminuição de
(e)