1. (RA2) Quando a temperatura de uma moeda de cobre é aumentada de 100 C , o diâmetro aumenta de 0,18 \%. Determine, com precisão de dois algarismos significativos, o aumento percentual (a) da área, (b) da espessura, (c) do volume e (d) da massa específica da moeda. (e) Calcule o coeficiente de dilatação linear da moeda.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: o aquecimento da moeda provoca um aumento do diâmetro de 0{,}18\% quando a temperatura é aumentada em 100\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Isso significa: a razão de variação linear (fração de aumento no comprimento) é \dfrac{\Delta L}{L}=0{,}18\% (onde L representa qualquer dimensão linear, por exemplo o diâmetro).
  • Perguntas:
    (a) determinar o aumento percentual da área da moeda;
    (b) determinar o aumento percentual da espessura da moeda;
    (c) determinar o aumento percentual do volume da moeda;
    (d) determinar o aumento percentual da massa específica (densidade) da moeda;
    (e) calcular o coeficiente de dilatação linear da moeda.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Dilatação linear: para um corpo isotrópico e homogêneo, o aumento relativo de qualquer dimensão linear é dado por
\frac{\Delta L}{L}=\alpha\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação do comprimento,
  • L é o comprimento inicial,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura em ^\circ\mathrm{C}.
  • Dilatação superficial (área): se uma área A depende de um comprimento L como A\propto L^{2}, então para pequenas variações \Delta L vale, por diferenciação ou expansão de binômio,
\frac{\Delta A}{A}\approx 2\frac{\Delta L}{L}.
Intuição: se cada comprimento cresce \varepsilon, a área cresce aproximadamente 2\varepsilon quando \varepsilon é pequeno.
  • Dilatação volumétrica: se o volume V\propto L^{3}, então, para pequenas variações,
\frac{\Delta V}{V}\approx 3\frac{\Delta L}{L}.
Intuição: cada uma das três dimensões contribui com uma parcela \Delta L/L.
  • Densidade (massa específica): a massa m é constante ao aquecer (não há perda de massa), e a densidade é \rho=\dfrac{m}{V}. Assim, a variação relativa da densidade é
\frac{\Delta \rho}{\rho}=\frac{\Delta (m/V)}{m/V}=-\frac{\Delta V}{V}\qquad(\text{pois }m=\text{constante}).
Logo, quando o volume aumenta, a densidade diminui com a mesma fração, mas com sinal contrário.
Todas essas aproximações são válidas porque as variações percentuais dadas são pequenas (ordem de 10^{-3}), então termos quadráticos e superiores podem ser desprezados.

Passo 3

Converter o aumento percentual do diâmetro em variação relativa numérica:
  • O enunciado diz que o diâmetro aumenta 0{,}18\%. Transformando para fração:
\frac{\Delta L}{L}=0{,}18\% = 0{,}0018.

Passo 4

Calcular o coeficiente de dilatação linear \alpha (item (e)) usando \dfrac{\Delta L}{L}=\alpha\,\Delta T.
  • Sabendo que \Delta T=100\\ ^\circ\mathrm{C} e \dfrac{\Delta L}{L}=0{,}0018, temos
\alpha=\frac{\Delta L/L}{\Delta T}=\frac{0{,}0018}{100}=1{,}8\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Explicação da unidade: \alpha é fração por grau Celsius; aqui 1{,}8\times10^{-5} significa que cada grau Celsius aumenta um comprimento em 0{,}0018\%.

Passo 5

Calcular o aumento percentual da área (item (a)).
  • Usando \dfrac{\Delta A}{A}\approx 2\dfrac{\Delta L}{L}:
\frac{\Delta A}{A}\approx 2\cdot 0{,}0018=0{,}0036.
  • Em porcentagem:
0{,}0036\times100\% = 0{,}36\%.

Passo 6

Calcular o aumento percentual da espessura (item (b)).
  • A espessura é uma dimensão linear. Para dilatação isotrópica ela cresce com a mesma razão linear:
\frac{\Delta (\text{espessura})}{\text{espessura}}=\frac{\Delta L}{L}=0{,}0018,
ou seja, em porcentagem:
0{,}0018\times100\% = 0{,}18\%.
Observação amigável: mesmo que a moeda seja fina, o material expande na espessura da mesma forma (assumindo material isotrópico).

Passo 7

Calcular o aumento percentual do volume (item (c)).
  • Usando \dfrac{\Delta V}{V}\approx 3\dfrac{\Delta L}{L}:
\frac{\Delta V}{V}\approx 3\cdot 0{,}0018=0{,}0054.
  • Em porcentagem:
0{,}0054\times100\% = 0{,}54\%.

Passo 8

Calcular a variação percentual da massa específica (densidade) (item (d)).
  • Como \dfrac{\Delta \rho}{\rho}=-\dfrac{\Delta V}{V}, então
\frac{\Delta \rho}{\rho}\approx -0{,}0054.
  • Em porcentagem:
-0{,}0054\times100\% = -0{,}54\%,
ou seja, a massa específica diminui 0{,}54\%.

Passo 9

Arredondamento e apresentação com duas cifras significativas:
  • (a) aumento da área: 0{,}36\% (duas cifras significativas).
  • (b) aumento da espessura: 0{,}18\% (duas cifras).
  • (c) aumento do volume: 0{,}54\% (duas cifras).
  • (d) variação da massa específica: diminuição de 0{,}54\% (duas cifras).
  • (e) coeficiente de dilatação linear: \alpha=1{,}8\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} (duas cifras).
Força aí — está feito! Essas fórmulas e passos servem sempre que souberes a variação linear e quiseres achar área, volume e densidade.

Resposta

(a) 0{,}36\%
(b) 0{,}18\%
(c) 0{,}54\%
(d) diminuição de 0{,}54\%
(e) \alpha=1{,}8\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}

Exercícios relacionados