1. Um bloco de cobre, de 50,0 \mathrm{~g}, cuja temperatura é 400 K , é colocado em uma caixa isolada junto com um bloco de chumbo de 100 g cuja temperatura é 200 K .
    \left(\right. Dados: \left.\mathrm{C}_{\mathrm{cu}}=0,093 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{C}_{\mathrm{pb}}=0,030 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}\right)
a) Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema de dois blocos?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Massa do bloco de cobre: m_{\mathrm{cu}}=50{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Massa do bloco de chumbo: m_{\mathrm{pb}}=100{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do cobre: T_{\mathrm{cu},i}=400\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura inicial do chumbo: T_{\mathrm{pb},i}=200\\ \mathrm{K}.
  • Calores específicos (dados):
    • c_{\mathrm{cu}}=0{,}093\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).
    • c_{\mathrm{pb}}=0{,}030\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).
  • A caixa é isolada (não há troca de calor com o ambiente).
O que o problema pergunta:
  • (a) Determinar a temperatura de equilíbrio do sistema formado pelos dois blocos, isto é, T_{\mathrm{eq}} (a temperatura final única que ambos atingem).

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma).
  • Em um sistema isolado, a energia térmica total se conserva: o calor perdido por um corpo é igual ao calor ganho pelo outro.
  • O calor trocado por um corpo quando sua temperatura muda é dado por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é o calor (positivo se recebido, negativo se cedido),
  • m é a massa do corpo (em gramas aqui),
  • c é o calor específico (unidade \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C})),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou em K; uma variação tem o mesmo valor numérico em ambas as escalas).
  • Convenção prática: se o cobre estiver mais quente inicialmente, ele perde calor. Podemos escrever a igualdade em termos de magnitudes:
\text{calor perdido pelo cobre}=\text{calor ganho pelo chumbo}.
Isto evita ter que lidar com sinais negativos no cálculo.

Passo 3

Montando a equação de equilíbrio e isolando T_{\mathrm{eq}}.
  • Escrevendo o calor perdido pelo cobre (variação positiva usada como magnitude):
Q_{\mathrm{cu}} = m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}\,(T_{\mathrm{cu},i}-T_{\mathrm{eq}}).
  • Escrevendo o calor ganho pelo chumbo:
Q_{\mathrm{pb}} = m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}\,(T_{\mathrm{eq}}-T_{\mathrm{pb},i}).
  • Igualando as duas quantidades (conservação de energia):
m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}\,(T_{\mathrm{cu},i}-T_{\mathrm{eq}})=m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}\,(T_{\mathrm{eq}}-T_{\mathrm{pb},i}).
  • Agora resolvemos essa equação para T_{\mathrm{eq}}. Primeiro expandimos e agrupamos termos com T_{\mathrm{eq}}:
m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}\,T_{\mathrm{cu},i}-m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}\,T_{\mathrm{eq}}=m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}\,T_{\mathrm{eq}}-m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}\,T_{\mathrm{pb},i}.
m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}\,T_{\mathrm{cu},i}+m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}\,T_{\mathrm{pb},i}=(m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}+m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}})\,T_{\mathrm{eq}}.
  • Assim, isolando T_{\mathrm{eq}}:
T_{\mathrm{eq}}=\frac{m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}\,T_{\mathrm{cu},i}+m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}\,T_{\mathrm{pb},i}}{m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}+m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}}.
Esta é uma fórmula muito útil: a temperatura final é uma média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas capacidades térmicas m c de cada bloco.

Passo 4

Substituindo os números e calculando passo a passo (sem pular contas).
  • Primeiro calcule m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}:
m_{\mathrm{cu}}\,c_{\mathrm{cu}}=50{,}0\times0{,}093=4{,}65\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
Aqui a unidade é cal/°C porque massa em g vezes cal/g°C dá cal/°C (capacidade térmica do bloco).
  • Agora m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}:
m_{\mathrm{pb}}\,c_{\mathrm{pb}}=100{,}0\times0{,}030=3{,}00\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
  • Numerador da fórmula:
m_{\mathrm{cu}}c_{\mathrm{cu}}T_{\mathrm{cu},i}+m_{\mathrm{pb}}c_{\mathrm{pb}}T_{\mathrm{pb},i}=4{,}65\times400+3{,}00\times200.
Calcule cada termo:
4{,}65\times400=1860, \qquad 3{,}00\times200=600.
Soma:
1860+600=2460.
  • Denominador:
m_{\mathrm{cu}}c_{\mathrm{cu}}+m_{\mathrm{pb}}c_{\mathrm{pb}}=4{,}65+3{,}00=7{,}65.
  • Finalmente a divisão:
T_{\mathrm{eq}}=\frac{2460}{7{,}65}=321{,}5686\ldots\\ \mathrm{K}.
Arredondando com uma casa decimal (suficiente para estes dados): T_{\mathrm{eq}}\approx321{,}6\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Checagens rápidas e interpretação física (pra ficar seguro e confiante).
  • A temperatura final está entre as iniciais: 200\\ \mathrm{K}<321{,}6\\ \mathrm{K}<400\\ \mathrm{K}. Ótimo — faz sentido físico.
  • Converter para graus Celsius para intuição (opcional):
T_{\mathrm{eq}}(^\circ\mathrm{C})=321{,}5686-273{,}15\approx48{,}42\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Verificação numérica dos calores (deve bater aproximadamente):
Q_{\mathrm{perdido,cu}}=4{,}65\times(400-321{,}5686)\approx4{,}65\times78{,}431\approx364{,}7\\ \mathrm{cal}.
Q_{\mathrm{ganho,pb}}=3{,}00\times(321{,}5686-200)\approx3{,}00\times121{,}5686\approx364{,}7\\ \mathrm{cal}.
Os valores coincidem (diferenças numéricas por arredondamento), então o cálculo está consistente.

Passo 6

Resumo amigável e estímulo: o método foi simples — igualar o calor cedido ao calor recebido e resolver uma equação linear em T_{\mathrm{eq}}. Tá chato? Eu sei que calorimetria parece chata no começo, mas com esse passo a passo dá pra fazer rapidinho na prova. Vai dar certo!

Resposta

T_{\mathrm{eq}}=321{,}6\\ \mathrm{K}

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