1. Um bloco de cobre, de 50,0 \mathrm{~g}, cuja temperatura é 400 K , é colocado em uma caixa isolada junto com um bloco de chumbo de 100 g cuja temperatura é 200 K .
    \left(\right. Dados: \left.\mathrm{C}_{\mathrm{cu}}=0,093 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{C}_{\mathrm{pb}}=0,030 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}\right)
c) Qual é a variação da entropia do sistema?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Massa do cobre: m_{\mathrm{cu}}=50{,}0\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial do cobre: T_{\mathrm{cu},i}=400\\ \mathrm{K}.
    • Calor específico do cobre: c_{\mathrm{cu}}=0{,}093\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^{\circ}\mathrm{C}.
    • Massa do chumbo: m_{\mathrm{pb}}=100\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial do chumbo: T_{\mathrm{pb},i}=200\\ \mathrm{K}.
    • Calor específico do chumbo: c_{\mathrm{pb}}=0{,}030\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Observações úteis (importantes para a resolução):
    • A caixa é isolada, logo o sistema cobre+chumbo é adiabático: o calor perdido por um bloco é ganho pelo outro.
    • Para sólidos, a variação de entropia ao trocar calor com capacidade térmica aproximadamente constante é \Delta S = m c \ln\!\bigl(\dfrac{T_f}{T_i}\bigr). Aqui as temperaturas podem ser em kelvin ou em graus Celsius, desde que se use a mesma unidade (como \mathrm{K}) — para variação de temperatura um incremento de 1\\ \mathrm{K} equivale a 1^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    • (c) Calcular a variação da entropia do sistema (ou seja, \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\mathrm{cu}}+\Delta S_{\mathrm{pb}}).

Passo 2

Determinar a temperatura de equilíbrio T_f usando conservação de energia (calor perdido = calor ganho).
A equação de balanço térmico é
m_{\mathrm{cu}} c_{\mathrm{cu}}\bigl(T_{\mathrm{cu},i}-T_f\bigr)=m_{\mathrm{pb}} c_{\mathrm{pb}}\bigl(T_f-T_{\mathrm{pb},i}\bigr).
Isolando T_f obtemos
T_f=\frac{m_{\mathrm{cu}} c_{\mathrm{cu}} T_{\mathrm{cu},i} + m_{\mathrm{pb}} c_{\mathrm{pb}} T_{\mathrm{pb},i}}{m_{\mathrm{cu}} c_{\mathrm{cu}} + m_{\mathrm{pb}} c_{\mathrm{pb}}}.
Agora substituo os números (tudo em unidades dadas; lembrando que ^\circ\mathrm{C} e \mathrm{K} diferem por constante, mas razões de temperatura e diferenças são compatíveis aqui):
m_{\mathrm{cu}} c_{\mathrm{cu}} = 50{,}0\times0{,}093 = 4{,}65\\ (\text{cal}/^\circ\mathrm{C}),
m_{\mathrm{pb}} c_{\mathrm{pb}} = 100\times0{,}030 = 3{,}00\\ (\text{cal}/^\circ\mathrm{C}).
T_f=\frac{4{,}65\times400 + 3{,}00\times200}{4{,}65+3{,}00}=\frac{1860+600}{7{,}65}=\frac{2460}{7{,}65}\approx321{,}568627\\ \mathrm{K}.
Arredondando razoavelmente:
T_f \approx 321{,}57\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Explicar como calcular a variação de entropia de cada bloco.
  • Para um corpo com calor específico constante c, massa m e temperatura inicial T_i que passa a T_f reversivelmente, a variação de entropia é
\Delta S = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui:
  • m é a massa em gramas ( \mathrm{g});
  • c é o calor específico em \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C};
  • T_i e T_f são temperaturas em \mathrm{K} (ou ^\circ\mathrm{C}, desde que consistentes).
    Essa fórmula vem de \Delta S=\int \frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T} e, para \delta Q_{\mathrm{rev}}=m c\,dT com c constante, integra-se facilmente.
Aplicarei essa fórmula separadamente ao cobre e ao chumbo e depois somarei para obter \Delta S_{\text{total}}.

Passo 4

Calcular \Delta S do cobre.
\Delta S_{\mathrm{cu}} = m_{\mathrm{cu}} c_{\mathrm{cu}} \ln\!\left(\frac{T_f}{T_{\mathrm{cu},i}}\right) =4{,}65\ln\!\left(\frac{321{,}568627}{400}\right).
Calculo interno das razões e do ln:
\frac{321{,}568627}{400}=0{,}803921568, \qquad \ln(0{,}803921568)\approx -0{,}21825545.
Portanto
\Delta S_{\mathrm{cu}}=4{,}65\times(-0{,}21825545)\approx -1{,}0148448\\ \text{cal/K}.

Passo 5

Calcular \Delta S do chumbo.
\Delta S_{\mathrm{pb}} = m_{\mathrm{pb}} c_{\mathrm{pb}} \ln\!\left(\frac{T_f}{T_{\mathrm{pb},i}}\right) =3{,}00\ln\!\left(\frac{321{,}568627}{200}\right).
Calculo da razão e do ln:
\frac{321{,}568627}{200}=1{,}607843135, \qquad \ln(1{,}607843135)\approx 0{,}47489173.
Logo
\Delta S_{\mathrm{pb}}=3{,}00\times0{,}47489173\approx1{,}4246752\\ \text{cal/K}.

Passo 6

Somar as variações para obter a variação total da entropia do sistema e interpretar o sinal.
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\mathrm{cu}}+\Delta S_{\mathrm{pb}} \approx -1{,}0148448 + 1{,}4246752 = 0{,}4098304\\ \text{cal/K}.
O valor é positivo (aproximadamente 0{,}410\\ \text{cal/K}), o que é consistente com a segunda lei da termodinâmica: num processo espontâneo isolado (mistura térmica até equilíbrio) a entropia total aumenta.
Se quiser em unidades do SI (joule por kelvin), usando 1\\ \text{cal}=4{,}186\\ \text{J}:
\Delta S_{\text{total}} \approx 0{,}4098304\times4{,}186 \approx 1{,}71555\\ \text{J/K}.

Resposta

\Delta S_{\text{total}} \approx 0{,}4098\\ \text{cal/K}
\Delta S_{\text{total}} \approx 1{,}716\\ \text{J/K}

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