Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:
\frac{1}{\sqrt[5]{6^{3}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: racionalizar o denominador da expressão \frac{1}{\sqrt[5]{6^{3}}}.
Informações dadas:
  • A expressão tem denominador \sqrt[5]{6^{3}}, que é a raiz quinta de 6^{3}.
  • O objetivo é eliminar a raiz do denominador, transformando-o em um número racional (inteiro, no caso).

Passo 2

Ideia geral (fórmula e por quê). Para uma raiz do tipo \sqrt[n]{a^{m}} (onde n é o índice da raiz, a é o radicando e m é o expoente dentro da raiz), se multiplicarmos por \sqrt[n]{a^{\,n-m}} obtemos:
\sqrt[n]{a^{m}}\cdot\sqrt[n]{a^{\,n-m}}=\sqrt[n]{a^{m+(n-m)}}=\sqrt[n]{a^{n}}=a.
Explicando as letras:
  • n é o índice da raiz (a “quinta” no nosso caso, então n=5);
  • a é o número dentro da raiz (aqui a=6);
  • m é o expoente dentro da raiz (aqui m=3).
    Portanto, para racionalizar, multiplica-se numerador e denominador pela raiz com expoente complementar n-m.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso concreto. Aqui n=5, a=6 e m=3. O expoente complementar é n-m=5-3=2. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt[5]{6^{2}}:
\frac{1}{\sqrt[5]{6^{3}}}\cdot\frac{\sqrt[5]{6^{2}}}{\sqrt[5]{6^{2}}} =\frac{\sqrt[5]{6^{2}}}{\sqrt[5]{6^{3}}\cdot\sqrt[5]{6^{2}}} =\frac{\sqrt[5]{6^{2}}}{\sqrt[5]{6^{3+2}}}.

Passo 4

Simplificação do denominador usando a propriedade das raízes. Como 3+2=5, temos:
\frac{\sqrt[5]{6^{2}}}{\sqrt[5]{6^{5}}}.
Mas \sqrt[5]{6^{5}}=6. Logo a expressão fica
\frac{\sqrt[5]{6^{2}}}{6}.

Passo 5

Observações finais e forma alternativa. A resposta pode ser escrita também como \dfrac{\sqrt[5]{36}}{6} (pois 6^{2}=36). No exame, o passo rápido é: identificar n, m, calcular n-m, multiplicar por \sqrt[n]{a^{\,n-m}} em cima e embaixo, e simplificar.

Resposta

\dfrac{\sqrt[5]{6^{2}}}{6}

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