Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:
\frac{20}{\sqrt[11]{10^{8}}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{20}{\sqrt[11]{10^{8}}}
e pede para racionalizar o denominador — ou seja, transformar a expressão de modo que o denominador não contenha raiz (ou potência fracionária) deixando-o um número racional (inteiro ou potência inteira de 10).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica de raízes e potências que é muito útil aqui: para todo a>0, inteiros m e n>0,
\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.
Isto diz que raiz enésima de a^m é a mesma coisa que a elevado à potência fracionária m/n. Também vale que, para a mesma raiz,
\sqrt[n]{a^{m}}\cdot\sqrt[n]{a^{k}}=\sqrt[n]{a^{m+k}}.
Essas duas ideias são o que usamos para racionalizar.

Passo 3

Escrevendo o denominador como potência com expoente fracionário:
\sqrt[11]{10^{8}} = 10^{8/11}.
Queremos multiplicar numerador e denominador por um fator que torne o expoente do 10 no denominador um inteiro. Ou seja, precisamos de um k tal que
\frac{8+k}{11}\\ \text{seja inteiro},
ou equivalentemente 8+k seja múltiplo de 11.

Passo 4

Escolhemos o menor k\ge0 que satisfaça isso. Como 8+3=11, basta k=3. Portanto multiplicamos numerador e denominador por \sqrt[11]{10^{3}}. Isso não altera o valor da expressão (multiplicamos por 1):

Passo 5

Efetuando a multiplicação:
\frac{20}{\sqrt[11]{10^{8}}}\cdot\frac{\sqrt[11]{10^{3}}}{\sqrt[11]{10^{3}}} = \frac{20\sqrt[11]{10^{3}}}{\sqrt[11]{10^{8}}\cdot\sqrt[11]{10^{3}}}.
Usando \sqrt[11]{10^{8}}\cdot\sqrt[11]{10^{3}}=\sqrt[11]{10^{8+3}}=\sqrt[11]{10^{11}} e lembrando que \sqrt[11]{10^{11}}=10, obtemos
\frac{20\sqrt[11]{10^{3}}}{10}.

Passo 6

Simplificando a fração 20/10:
\frac{20\sqrt[11]{10^{3}}}{10}=2\sqrt[11]{10^{3}}.
Podemos deixar a resposta nessa forma (com raiz) ou escrever 2\cdot 10^{3/11}. Ambas são equivalentes; a forma com raiz mostra explicitamente que o denominador ficou racional.

Resposta

2\sqrt[11]{10^{3}}

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