Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para racionalizar o denominador — ou seja, transformar a expressão de modo que o denominador não contenha raiz (ou potência fracionária) deixando-o um número racional (inteiro ou potência inteira de
).
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade básica de raízes e potências que é muito útil aqui: para todo
, inteiros
e
,
Isto diz que raiz enésima de
é a mesma coisa que
elevado à potência fracionária
. Também vale que, para a mesma raiz,
Essas duas ideias são o que usamos para racionalizar.
Passo 3
Escrevendo o denominador como potência com expoente fracionário:
Queremos multiplicar numerador e denominador por um fator que torne o expoente do
no denominador um inteiro. Ou seja, precisamos de um
tal que
ou equivalentemente
seja múltiplo de
.
Passo 4
Escolhemos o menor
que satisfaça isso. Como
, basta
. Portanto multiplicamos numerador e denominador por
. Isso não altera o valor da expressão (multiplicamos por
):
Passo 5
Efetuando a multiplicação:
Usando
e lembrando que
, obtemos
Passo 6
Simplificando a fração
:
Podemos deixar a resposta nessa forma (com raiz) ou escrever
. Ambas são equivalentes; a forma com raiz mostra explicitamente que o denominador ficou racional.