Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:
\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{5}}
e pede para racionalizar o denominador — ou seja, escrever uma expressão equivalente em que o denominador seja um número racional (sem raízes).

Passo 2

Ideia para racionalizar: multiplicar numerador e denominador por uma quantidade que transforme a raiz do denominador em número racional. Como \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5 (que é racional), basta multiplicar por
\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1,
que deixa a fração equivalente (multiplicar por 1 não altera o valor) e elimina a raiz do denominador.

Passo 3

Multiplicando a expressão original por \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} obtemos:
\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{(1+\sqrt{2})\sqrt{5}}{\sqrt{5}\,\sqrt{5}}.

Passo 4

Calcule o denominador e distribua no numerador:
\sqrt{5}\,\sqrt{5}=5, \qquad (1+\sqrt{2})\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{2}\,\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{10}.
Assim a fração fica
\frac{\sqrt{5}+\sqrt{10}}{5}.

Passo 5

Opcional: separar em duas frações ou fatorar 1/5 para ver formas alternativas:
\frac{\sqrt{5}+\sqrt{10}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{1}{5}\sqrt{5}+\frac{1}{5}\sqrt{10}.

Passo 6

Resumo didático rápido (para a prova): quando o denominador é uma raiz simples \sqrt{a}, multiplica-se por \sqrt{a}/\sqrt{a}. Isso transforma o denominador em a e elimina a raiz. Exemplo curto: \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{10}}{5}

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