Racionalize os denominadores das frações. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e os denominadores sāo nāo nulos.
1 / \sqrt[5]{3}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração
\frac{1}{\sqrt[5]{3}}.
Informações relevantes: a raiz é a raiz quinta de 3, o denominador é diferente de zero e podemos supor os sinais de forma que as propriedades de potências e raízes que usaremos sejam válidas (aqui 3>0, então não há problema).

Passo 2

O que significa “racionalizar o denominador”? Significa transformar a fração de modo que o denominador não contenha radicais (raízes). A técnica básica é multiplicar numerador e denominador por um fator que torne o radicando no denominador uma potência cujo índice cancele a raiz.
Uma regra geral útil: para \dfrac{1}{\sqrt[n]{a}} (com a>0 e n\in\mathbb{N}), multiplicar por \dfrac{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}}{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}} elimina a raiz no denominador, porque
\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{a^{\,n-1}}=\sqrt[n]{a\cdot a^{\,n-1}}=\sqrt[n]{a^{\,n}}=a.
Aqui cada passo usa a propriedade \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{xy} e a definição de potência.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso com n=5 e a=3, escolhemos multiplicar numerador e denominador por \sqrt[5]{3^{4}}. Fazemos:
\frac{1}{\sqrt[5]{3}}\cdot\frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{\sqrt[5]{3^{4}}} =\frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{\sqrt[5]{3}\,\sqrt[5]{3^{4}}} =\frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{\sqrt[5]{3^{5}}}.
Agora simplificamos o denominador usando \sqrt[5]{3^{5}}=3 (pois a raiz quinta e a potência quinta se cancelam quando o radicando é positivo). Assim obtemos
\frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{3}.
Podemos também calcular 3^{4}=81 e escrever o resultado como
\frac{\sqrt[5]{81}}{3}.

Passo 4

Resumo rápido para levar pra prova: sempre que aparecer \dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}, multiplica por \dfrac{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}}{\sqrt[n]{a^{\,n-1}}} e o denominador vira a. Aqui resultou em \dfrac{\sqrt[5]{81}}{3}. Vai dar certo na hora da prova — respira fundo, faz o passo de multiplicar por esse fator e pronto!

Resposta

\dfrac{\sqrt[5]{81}}{3}

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