Racionalize os denominadores das frações. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e os denominadores sāo nāo nulos.
4 / \sqrt{2^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração dada. As informações fornecidas são:
  • A expressão é \dfrac{4}{\sqrt{2^{3}}}.
  • Sempre que necessário, podemos supor que as variáveis são positivas e os denominadores são não nulos.
    A tarefa: transformar a fração para que o denominador não contenha radicais.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a raiz no denominador. Use a propriedade das raízes para produtos:
\sqrt{a b}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\quad\text{para }a,b\ge0.
Aplicando a isso com a=4 e b=2 porque 2^{3}=8=4\cdot2, temos
\sqrt{2^{3}}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=\sqrt{4}\,\sqrt{2}=2\sqrt{2}.

Passo 3

Substituindo essa simplificação na fração:
\frac{4}{\sqrt{2^{3}}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}.
Agora simplificamos o fator 2 entre numerador e denominador:
\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{4\div2}{2\sqrt{2}\div2}=\frac{2}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Para racionalizar um denominador que é uma única raiz, o método é multiplicar numerador e denominador pela mesma raiz, assim o denominador vira um número racional (porque \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2). Multiplicamos por \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}:
\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}}.

Passo 5

Calcule o denominador e, se possível, cancele fatores:
\sqrt{2}\,\sqrt{2}=2,
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\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}.
Agora cancele o 2 no numerador e no denominador:
\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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