Racionalize os denominadores, supondo que x pertença a um domínio adequado.
\frac{1}{\sqrt{2+x}}

Passo 1

O enunciado pede para “racionalizar os denominadores” da expressão \frac{1}{\sqrt{2+x}}, supondo que x pertença a um domínio adequado.
Informações dadas:
  • A expressão a transformar é \frac{1}{\sqrt{2+x}}.
  • Não foi dado explicitamente o domínio; devemos assumir que x está em um domínio em que a expressão original faz sentido (ou seja, a raiz está definida e o denominador não é zero).

Passo 2

O que significa “racionalizar o denominador”?
Racionalizar o denominador é transformar uma fração que tem uma raiz no denominador em uma fração equivalente cujo denominador não contenha raízes (ou seja, seja um número/racional sem radicais). A operação permitida para isso é multiplicar numerador e denominador pelo mesmo fator (que é multiplicar por 1), de modo a eliminar a raiz do denominador.
Exemplo simples e útil: para uma fração do tipo \dfrac{1}{\sqrt{a}} usa-se o fator \sqrt{a}, porque
\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2}=\frac{\sqrt{a}}{a}.
Note que multiplicar por \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} é permitido porque esse quociente vale 1 (desde que esteja definido).

Passo 3

Condição sobre o domínio (por que isso importa):
Para que a operação acima seja válida sem problemas precisamos que \sqrt{2+x} esteja definida e diferente de zero. Isso exige:
2+x\ge 0 \quad\text{e}\quad \sqrt{2+x}\neq 0.
A primeira condição dá x\ge -2. A segunda exclui o caso x=-2. Portanto o domínio adequado para a racionalização é
x>-2.
(Nesse domínio a multiplicação por \dfrac{\sqrt{2+x}}{\sqrt{2+x}} é bem definida.)

Passo 4

Aplicando o procedimento (passo a passo, sem pular etapas):
Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{2+x}:
\frac{1}{\sqrt{2+x}}\cdot\frac{\sqrt{2+x}}{\sqrt{2+x}} = \frac{\sqrt{2+x}}{(\sqrt{2+x})^2}.
Agora usamos que (\sqrt{2+x})^2=2+x. Assim
\frac{\sqrt{2+x}}{(\sqrt{2+x})^2}=\frac{\sqrt{2+x}}{2+x}.

Passo 5

Interpretação final e verificação:
A forma \dfrac{\sqrt{2+x}}{2+x} tem o denominador sem raízes (é racional em termos de radicais), então a racionalização foi bem-sucedida. A expressão é equivalente à original para todo x>-2. É normal que, após racionalizar o denominador, a raiz apareça no numerador — isso não é problema.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2+x}}{2+x}

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