Racionalize os denominadores, supondo que x pertença a um domínio adequado.
\frac{x-1}{\sqrt{2 x-1}-1}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão
\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}-1},
supondo que x pertença a um domínio adequado. Informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
  • A expressão contém \sqrt{2x-1}, portanto é necessário ter o argumento da raiz não-negativo: 2x-1\ge 0.
  • O denominador \sqrt{2x-1}-1 não pode ser zero, pois dividir por zero é proibido.
  • Logo, as restrições iniciais que precisamos lembrar são x\ge \tfrac{1}{2} (para a raiz) e \sqrt{2x-1}-1\neq 0 (ou seja, x\neq 1).

Passo 2

O truque para racionalizar um denominador do tipo \sqrt{A}-B é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador, que é \sqrt{A}+B. Explicando por que isso funciona:
  • A conjugada de a-b é a+b.
  • O produto (a-b)(a+b) é uma diferença de quadrados e vale a^2-b^2.
  • Aqui isso elimina a raiz no denominador porque (\sqrt{A})^2=A.

Passo 3

Aplicamos esse procedimento ao nosso caso, tomando a=\sqrt{2x-1} e b=1. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2x-1}+1 (ou seja, multiplicamos por 1):
\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}-1}\cdot\frac{\sqrt{2x-1}+1}{\sqrt{2x-1}+1} = \frac{(x-1)\,(\sqrt{2x-1}+1)}{(\sqrt{2x-1}-1)(\sqrt{2x-1}+1)}.

Passo 4

Calculemos o denominador usando a diferença de quadrados:
(\sqrt{2x-1}-1)(\sqrt{2x-1}+1)=(\sqrt{2x-1})^2-1^2=2x-1-1=2x-2.
Podemos escrever 2x-2 como 2(x-1).

Passo 5

Substituindo o denominador simplificado, a fração fica
\frac{(x-1)\,(\sqrt{2x-1}+1)}{2(x-1)}.
Aqui aparece um fator comum (x-1) no numerador e no denominador.

Passo 6

Podemos cancelar o fator (x-1), mas isso só é válido quando x-1\neq 0, ou seja, x\neq 1. Após o cancelamento obtemos
\frac{\sqrt{2x-1}+1}{2},
válido para x\neq 1.

Passo 7

Juntando com a condição da raiz ( 2x-1\ge 0 ) temos o domínio apropriado: x\ge \tfrac{1}{2} e x\neq 1. Nesses valores de x a expressão original e a expressão racionalizada coincidem. Observação: a forma simplificada está definida em x=1 (dá 1), mas isso não importa — não se pode substituir na expressão original porque nela o denominador seria zero em x=1.

Passo 8

Para dar mais segurança, um teste numérico rápido: para x=2 a forma original é \dfrac{2-1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1} e a forma racionalizada é \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}. Numericamente ambas valem aproximadamente 1{,}366, confirmando a equivalência no domínio.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2x-1}+1}{2},\quad x\ge \tfrac{1}{2},\\ x\neq 1

Exercícios relacionados