Racionalize os denominadores, supondo que
pertença a um domínio adequado.
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve
, então para interpretá-la no conjunto dos números reais é necessário ter . - O denominador original é
. Para tem-se , logo , portanto o denominador original nunca é zero para . - A tarefa é transformar a fração de modo que o denominador não contenha raiz (ou seja, que o denominador seja um número algébrico sem raiz explícita).
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada devagar e com exemplo): quando o denominador tem a forma
com
e
simples (aqui
e
), multiplicamos numerador e denominador pela conjugada
(aqui
). Isso funciona porque
uma diferença de quadrados que elimina as raízes quando
é
. Importante: multiplicar por
é multiplicar por
, o que preserva o valor da fração desde que
(ou seja, desde que a razão usada como “1” seja bem definida). No nosso caso precisaremos observar esse detalhe depois (quando
, isto é
).
Exemplo curto para fixar: racionalizar
. Multiplica-se por
e o denominador vira
, sem raiz.
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema: multiplicamos numerador e denominador por
:
Isso é válido para
tal que
(veremos a condição explicitamente depois).
Passo 4
Calcular o denominador após a multiplicação, usando a identidade da diferença de quadrados com
e
:
Passo 5
Agora expandir o numerador passo a passo:
Multiplicando termo a termo:
-
. -
. -
. -
.
Somando tudo:
Passo 6
Portanto, após racionalizar obtemos a fração
Observação sobre equivalência e domínio: a operação de multiplicar por
é válida sempre que
, isto é, para
. A expressão original está definida para todos
(já que
para
), e a forma racionalizada é algebraicamente equivalente à original para todos
com
. No caso
a forma racionalizada apresentada fica com
, portanto não é válida ali — o valor original em
é
, mas a expressão racionalizada precisa da exclusão
para ser correta como identidade algébrica.