Racionalize os denominadores, supondo que x pertença a um domínio adequado.
\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+4}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão
\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve \sqrt{x}, então para interpretá-la no conjunto dos números reais é necessário ter x\ge 0.
  • O denominador original é \sqrt{x}+4. Para x\ge 0 tem-se \sqrt{x}\ge 0, logo \sqrt{x}+4>0, portanto o denominador original nunca é zero para x\ge 0.
  • A tarefa é transformar a fração de modo que o denominador não contenha raiz (ou seja, que o denominador seja um número algébrico sem raiz explícita).

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada devagar e com exemplo): quando o denominador tem a forma a+b com a e b simples (aqui a=\sqrt{x} e b=4), multiplicamos numerador e denominador pela conjugada a-b (aqui \sqrt{x}-4). Isso funciona porque
(a+b)(a-b)=a^2-b^2,
uma diferença de quadrados que elimina as raízes quando a é \sqrt{\cdot}. Importante: multiplicar por \dfrac{a-b}{a-b} é multiplicar por 1, o que preserva o valor da fração desde que a-b\neq 0 (ou seja, desde que a razão usada como “1” seja bem definida). No nosso caso precisaremos observar esse detalhe depois (quando \sqrt{x}-4=0, isto é x=16).
Exemplo curto para fixar: racionalizar \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+3}. Multiplica-se por \dfrac{\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}-3} e o denominador vira 2-9=-7, sem raiz.

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}-4:
\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+4}\cdot\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-4}.
Isso é válido para x tal que \sqrt{x}-4\neq 0 (veremos a condição explicitamente depois).

Passo 4

Calcular o denominador após a multiplicação, usando a identidade da diferença de quadrados com a=\sqrt{x} e b=4:
(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)=(\sqrt{x})^2-4^2=x-16.

Passo 5

Agora expandir o numerador passo a passo:
(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-4)
Multiplicando termo a termo:
  • (\sqrt{x})\cdot(\sqrt{x}) = x.
  • (\sqrt{x})\cdot(-4) = -4\sqrt{x}.
  • 5\cdot(\sqrt{x}) = 5\sqrt{x}.
  • 5\cdot(-4) = -20.
Somando tudo:
x -4\sqrt{x} +5\sqrt{x} -20 = x +\sqrt{x} -20.

Passo 6

Portanto, após racionalizar obtemos a fração
\frac{x+\sqrt{x}-20}{x-16}.
Observação sobre equivalência e domínio: a operação de multiplicar por \dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-4} é válida sempre que \sqrt{x}-4\neq 0, isto é, para x\neq 16. A expressão original está definida para todos x\ge 0 (já que \sqrt{x}+4>0 para x\ge 0), e a forma racionalizada é algebraicamente equivalente à original para todos x\ge 0 com x\neq 16. No caso x=16 a forma racionalizada apresentada fica com 0/0, portanto não é válida ali — o valor original em x=16 é \dfrac{4+5}{4+4}=\dfrac{9}{8}, mas a expressão racionalizada precisa da exclusão x\neq 16 para ser correta como identidade algébrica.

Resposta

\displaystyle \frac{x+\sqrt{x}-20}{x-16},\quad x\ge 0,\\ x\ne 16

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