Racionalize as expressões:
\frac{1}{1-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar e simplificar a expressão
\frac{1}{1-\sqrt{2}} \;-\;\frac{1}{\sqrt{2}+1}.
O conteúdo necessário é o método de multiplicar numerador e denominador pela conjugada para eliminar raízes no denominador.

Passo 2

Racionalizamos o primeiro termo \frac{1}{1-\sqrt{2}} multiplicando por \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}:
\frac{1}{1-\sqrt{2}}\;\times\;\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} =\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} =\frac{1+\sqrt{2}}{1 - (\sqrt{2})^2} =\frac{1+\sqrt{2}}{1 - 2} =\frac{1+\sqrt{2}}{-1} =-1 - \sqrt{2}.

Passo 3

Racionalizamos o segundo termo \frac{1}{\sqrt{2}+1} multiplicando por \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}:
\frac{1}{\sqrt{2}+1}\;\times\;\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} =\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} =\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} =\frac{\sqrt{2}-1}{2 - 1} =\sqrt{2}-1.

Passo 4

Agora substituímos os resultados na expressão original:
(-1 - \sqrt{2}) \;-\; (\sqrt{2}-1) =-1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 =-2\,\sqrt{2}.

Resposta

-2\sqrt{2}

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