A particle with a charge of +4.20 nC is in a uniform electric field \overrightarrow{\boldsymbol{E}} directed to the left. It is released from rest and moves to the left; after it has moved 6.00 cm , its kinetic energy is found to be +1.50 \times 10^{-6} \mathrm{~J}. (a) What work was done by the electric force? (b) What is the potential of the starting point with respect to the end point? (c) What is the magnitude of \boldsymbol{E} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que se pede:
  • Carga da partícula: \,q=+4{,}20\!\times\!10^{-9}\\ \mathrm{C} (converti +4{,}20\\ \mathrm{nC} para coulombs).
  • Campo elétrico uniforme \overrightarrow{E} dirigido para a esquerda.
  • Partícula liberada do repouso (velocidade inicial zero).
  • Depois de mover-se 6{,}00\\ \mathrm{cm} para a esquerda, sua energia cinética é \,K_f=+1{,}50\!\times\!10^{-6}\\ \mathrm{J}.
  • Distância percorrida: 6{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0600\\ \mathrm{m}.
As perguntas:
(a) Qual o trabalho realizado pela força elétrica?
(b) Qual é o potencial do ponto inicial em relação ao ponto final (ou seja, V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})?
(c) Qual é o módulo de \overrightarrow{E}?

Passo 2

(a) Cálculo do trabalho feito pela força elétrica — conceito e aplicação.
Conceito: Pelo teorema energia-trabalho, o trabalho total realizado sobre a partícula resulta na variação da sua energia cinética:
W_{\text{total}}=\Delta K=K_f-K_i.
Aqui a força elétrica é a única responsável pelo trabalho relevante (não foram dadas outras forças dissipativas), e a partícula parte do repouso, portanto K_i=0.
Aplicando:
W_{\text{el}}=\Delta K=K_f-0=K_f.
Substituindo o valor dado:
W_{\text{el}}=1{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o trabalho é positivo — a força elétrica fez trabalho a favor do deslocamento e aumentou a energia cinética da carga positiva.

Passo 3

(b) Relação entre trabalho da força elétrica, energia potencial elétrica e diferença de potencial — explicação didática.
Conceito importante:
  • A energia potencial elétrica de uma carga num ponto é U=qV, onde q é a carga e V o potencial elétrico do ponto.
  • A variação da energia potencial é \Delta U = U_f-U_i = q(V_f-V_i)=q\,\Delta V.
  • O trabalho realizado pela força elétrica relaciona-se com a variação da energia potencial por
W_{\text{el}}=-\Delta U.
Isto é, a força elétrica realiza trabalho igual ao negativo da variação da energia potencial.
Nosso objetivo é achar V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}}. Denotando V_i o potencial inicial e V_f o final:
\Delta U = q(V_f-V_i) \quad\Rightarrow\quad W_{\text{el}}=-q(V_f-V_i).
Rearranjando para V_i-V_f:
V_i-V_f = \frac{W_{\text{el}}}{q}.
Agora substituímos os valores numéricos:
V_i-V_f=\frac{1{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{J}}{4{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{C}}.
Fazendo a divisão:
V_i-V_f \approx 3{,}57142857\times10^{2}\\ \mathrm{V}.
Com números significativos (dados com 3 algarismos significativos), escrevemos:
V_i-V_f \approx 3{,}57\times10^{2}\\ \mathrm{V}=357\\ \mathrm{V}.
Interpretação física: o ponto inicial está 357\\ \mathrm{V} mais alto que o ponto final; como a carga é positiva e se moveu no sentido do campo (para a esquerda), sua energia potencial diminuiu e essa perda virou energia cinética.

Passo 4

(c) Cálculo do módulo do campo elétrico — relação com diferença de potencial em campo uniforme.
Conceito: Para um campo elétrico uniforme, a diferença de potencial entre dois pontos separados por uma distância d ao longo da linha do campo é
V_f-V_i = -E\,d_{\text{paralelo}},
onde E é o módulo do campo e d_{\text{paralelo}} é a distância ao longo da direção do campo. Aqui o deslocamento foi exatamente na direção do campo (ambos para a esquerda), e a distância é d=0{,}0600\\ \mathrm{m}.
Queremos E em módulo. Usando a relação e sabendo que V_i-V_f já foi encontrada:
|E|=\frac{|V_i-V_f|}{d}.
Substituindo:
|E|=\frac{3{,}57142857\times10^{2}\\ \mathrm{V}}{0{,}0600\\ \mathrm{m}}\approx 5{,}95238095\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando para 3 algarismos significativos:
|E|\approx 5{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Comentário sobre direção: como o enunciado diz que \overrightarrow{E} está dirigido para a esquerda, o vetor campo é \overrightarrow{E}=-(5{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{V/m})\,\hat{\imath} se escolhermos \hat{\imath} para a direita. Mas a pergunta pediu o módulo, então o valor acima é suficiente.

Resposta

(a) +1{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{J}
(b) 3{,}57\times10^{2}\\ \mathrm{V}
(c) 5{,}95\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}

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