1. A radiação \beta da tabela é produzida em pulsos de intervalos 4,00 \times 10^{-15} \mathrm{~s}. Encontre incerteza mínima para a posição e para energia destes fótons en joule e em eletronvolt.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (valores retirados do enunciado):
  • Intervalo entre pulsos: \Delta t = 4{,}00\times10^{-15}\\ \mathrm{s}.
  • Pedidos:
    • Incerteza mínima para a posição dos fótons (em joule? — aqui posição em metros).
    • Incerteza mínima para a energia desses fótons, em joule e em eletronvolt.

Passo 2

Raciocínio para a posição: um pulso de duração \Delta t tem comprimento espacial (extensão do pacote de ondas) aproximadamente igual à velocidade de propagação vezes a duração. Para fótons no vácuo a velocidade é a velocidade da luz c. Portanto a incerteza mínima na posição associada ao pulso pode ser estimada por
\Delta x_{\min} \approx c\,\Delta t,
onde c é a velocidade da luz (unidade: \mathrm{m/s}) e \Delta t é a duração do pulso (unidade: \mathrm{s}). Isso dá uma estimativa direta da “largura” espacial do fóton/pacote de fótons.

Passo 3

Cálculo numérico de \Delta x_{\min}. Usarei c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \Delta t=4{,}00\times10^{-15}\\ \mathrm{s}:
\Delta x_{\min} \approx (2{,}998\times10^{8})\times(4{,}00\times10^{-15})\\ \mathrm{m}.
Multiplicando os fatores numéricos e somando os expoentes:
\Delta x_{\min} \approx 2{,}998\times4{,}00\times10^{8-15}\\ \mathrm{m} =11{,}992\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=1{,}1992\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
\Delta x_{\min}\approx 1{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1{,}20\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 4

Raciocínio para a energia: usa-se a relação de incerteza tipo tempo-energia. A forma usual que fornece a estimativa mínima é
\Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde \hbar (lê-se h-bar) é a constante de Planck reduzida, definida por \hbar=\dfrac{h}{2\pi}, com unidade \mathrm{J\cdot s}. Para estimar a incerteza mínima em energia tomamos a igualdade (situação idealizada):
\Delta E_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta t}.
Aqui \Delta t é o intervalo de tempo que caracteriza a determinação temporal do fóton (o intervalo entre pulsos dado).

Passo 5

Valores numéricos: \hbar = 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e \Delta t=4{,}00\times10^{-15}\\ \mathrm{s}. Então
\Delta E_{\min} = \frac{1{,}054571817\times10^{-34}}{2\times4{,}00\times10^{-15}}\\ \mathrm{J}.
Calculemos o denominador e a divisão:
2\times4{,}00\times10^{-15}=8{,}00\times10^{-15},
\Delta E_{\min} = \frac{1{,}054571817\times10^{-34}}{8{,}00\times10^{-15}} = \left(\frac{1{,}054571817}{8{,}00}\right)\times10^{-34+15}\\ \mathrm{J}.
\Delta E_{\min} \approx 0{,}131821477\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=1{,}31821477\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\Delta E_{\min}\approx 1{,}32\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Conversão para eletronvolt: 1 elétron-volt vale 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Logo
\Delta E_{\min}\\ (\mathrm{eV}) = \frac{1{,}31821477\times10^{-20}\\ \mathrm{J}}{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}}.
Fazendo a divisão:
\Delta E_{\min}\approx 0{,}082269\\ \mathrm{eV}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\Delta E_{\min}\approx 0{,}0823\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

Interpretação rápida (para incentivar): a incerteza espacial é da ordem de micrômetros ( \sim1{,}2\\ \mu\mathrm{m}), ou seja cada pulso tem extensão espacial dessa ordem. A incerteza de energia é muito pequena em unidades de joule (≈ 10^{-20}\\ \mathrm{J}) e corresponde a uma largura espectral de cerca de 8{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{eV} — isso dá uma ideia da resolução energética que esses pulsos teriam.

Resposta

\Delta x_{\min}=1{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1{,}20\\ \mu\mathrm{m}
\Delta E_{\min}=1{,}32\times10^{-20}\\ \mathrm{J}=0{,}0823\\ \mathrm{eV}

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