O raio de um buraco negro é a distância de seu centro, no qual a velocidade de escape é a da luz.
a) Qual é o raio de um buraco negro com massa 2 vezes a massa do Sol?
b) Em que raio, em relação ao centro do buraco negro, na parte (a), a velocidade orbital seria igual à velocidade da luz?
c) Qual é o raio de um buraco negro com a mesma massa da Terra?

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) O raio do buraco negro cujo massa é duas vezes a massa do Sol.
  • (b) Para o mesmo buraco negro da parte (a), o raio (distância ao centro) onde a velocidade orbital seria igual à velocidade da luz.
  • (c) O raio do buraco negro com a massa da Terra.
Informações e constantes físicas que vou usar (valores numéricos usados nos cálculos; todos em unidades SI):
  • Constante gravitacional: G = 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Massa do Sol: M_{\odot} = 1{,}98847\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da Terra: M_{\oplus} = 5{,}97219\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
O enunciado define o raio do buraco negro como a distância do centro em que a velocidade de escape é a velocidade da luz. Essa definição leva diretamente à fórmula que vamos usar; explico isso no próximo passo.

Passo 2

Derivação e explicação da fórmula do raio (raio de Schwarzschild) a partir da velocidade de escape.
  • A fórmula clássica da velocidade de escape a partir de uma massa pontual M a uma distância r é
v_\text{esc}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}.
Explicando cada símbolo: v_\text{esc} é a velocidade de escape, G é a constante gravitacional, M é a massa que cria o campo gravitacional e r é a distância do centro dessa massa até o ponto considerado.
  • Para o raio do buraco negro definimos v_\text{esc}=c. Portanto igualando e resolvendo para r:
c=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \quad\Longrightarrow\quad c^2=\dfrac{2GM}{r} \quad\Longrightarrow\quad r=\dfrac{2GM}{c^2}.
Essa fórmula r=\dfrac{2GM}{c^2} é o raio de Schwarzschild (mesma expressão que se obtém de maneira mais rigorosa na Relatividade Geral para uma massa esférica não carregada e sem rotação). Aqui r é o raio do horizonte de eventos segundo a definição do enunciado.

Passo 3

Cálculo do raio para a massa 2M_{\odot} (parte a).
  • Para M=2M_{\odot} aplicamos \;r=\dfrac{2G(2M_{\odot})}{c^2}=\dfrac{4GM_{\odot}}{c^2}.
  • É prático conhecer o raio de Schwarzschild do Sol (usar a mesma fórmula com M_{\odot}):
r_{s,\odot}=\dfrac{2GM_{\odot}}{c^2}.
Vou calcular numericamente r_{s,\odot} e depois duplicar para 2M_{\odot}.
Cálculo de r_{s,\odot}:
r_{s,\odot}=\dfrac{2\cdot(6{,}67430\times10^{-11})\cdot(1{,}98847\times10^{30})}{(2{,}99792458\times10^{8})^2}.
Faço passo a passo os expoentes e factores:
  • Produto no numerador: 2\cdot G\cdot M_{\odot} \approx 2\cdot6{,}67430\times10^{-11}\cdot1{,}98847\times10^{30}=2{,}6542488\times10^{20}.
  • Denominador c^2=(2{,}99792458\times10^{8})^2\approx 8{,}987551787\times10^{16}.
Agora a divisão:
r_{s,\odot}\approx \dfrac{2{,}6542488\times10^{20}}{8{,}987551787\times10^{16}}\approx 2{,}953\\ \text{m}\approx 2{,}953\\ \mathrm{m}.
Ou seja, r_{s,\odot}\approx 2{,}95\\ \mathrm{km}.
  • Para M=2M_{\odot} o raio é o dobro:
r_{s,2M_{\odot}}=2\cdot r_{s,\odot}\approx 2\cdot2{,}953\\ \mathrm{m}=5{,}906\\ \mathrm{m}\approx 5{,}906\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Derivação e cálculo do raio onde a velocidade orbital é igual à velocidade da luz (parte b).
  • A velocidade orbital circular clássica em torno de uma massa M a uma distância r é
v_\text{orb}=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}.
Aqui v_\text{orb} é a velocidade necessária para uma órbita circular em nova física (Newtoniana).
  • Igualando v_\text{orb}=c e resolvendo para r:
c=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} \quad\Longrightarrow\quad c^2=\dfrac{GM}{r} \quad\Longrightarrow\quad r=\dfrac{GM}{c^2}.
Observe que esse r é exatamente a metade do raio de Schwarzschild, porque r_{s}=2GM/c^2, logo
r_{\text{onde }v_\text{orb}=c}=\dfrac{r_{s}}{2}.
  • Para o caso M=2M_{\odot} temos
r=\dfrac{G(2M_{\odot})}{c^2}=2\cdot\dfrac{GM_{\odot}}{c^2}= \dfrac{r_{s,\odot}}{1}\approx 2{,}953\\ \mathrm{m}\approx 2{,}953\\ \mathrm{km}.
Portanto, segundo a conta clássica, a velocidade orbital seria igual a c a r\approx 2{,}953\\ \mathrm{km} do centro, o que é metade do horizonte de eventos que encontramos na parte (a).
Comentário físico importante (para não te confundir na prova): essa equação é Newtoniana; na Relatividade Geral a situação muda — não existem órbitas físicas para matéria dentro do horizonte de eventos. Para fótons (luz) a órbita circular (instável) existe na chamada “esfera de fótons” localizada em
r_\text{fótons}=\dfrac{3GM}{c^2}=\dfrac{3}{2}r_{s}.ó
No caso M=2M_{\odot} isso dá
r_\text{fótons}=\dfrac{3GM}{c^2}=1{,}5\cdot r_{s,2M_{\odot}}\approx 1{,}5\cdot5{,}906\\ \mathrm{km}\approx 8{,}859\\ \mathrm{km}.ó
Ou seja, se a pergunta quiser o raio onde a luz pode realmente orbitar em GR, o valor correto é r_\text{fótons}\approx 8{,}86\\ \mathrm{km}ó (mas a pergunta pediu onde a velocidade orbital seria igual à velocidade da luz — usei a fórmula clássica e apresentei também a correção relativística).

Passo 5

Cálculo do raio de Schwarzschild para a massa da Terra (parte c).
  • Usamos a mesma fórmula r=\dfrac{2GM}{c^2} com M=M_{\oplus}.
Cálculo numérico:
r_{s,\oplus}=\dfrac{2\cdot G\cdot M_{\oplus}}{c^2} =\dfrac{2\cdot(6{,}67430\times10^{-11})\cdot(5{,}97219\times10^{24})}{(2{,}99792458\times10^{8})^2}.
Fazendo os passos:
  • Produto no numerador: 2\cdot G\cdot M_{\oplus}\approx 7{,}9720088\times10^{14}.
  • Denominador c^2\approx 8{,}987551787\times10^{16}.
Dividindo:
r_{s,\oplus}\approx \dfrac{7{,}9720088\times10^{14}}{8{,}987551787\times10^{16}}\approx 8{,}87\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Isto é,
r_{s,\oplus}\approx 0{,}00887\\ \mathrm{m}=8{,}87\\ \mathrm{mm}.
Portanto, para a massa da Terra o raio do buraco negro seria da ordem de alguns milímetros.

Resposta

(a) r\approx 5{,}906\\ \mathrm{km}
(b) r=\dfrac{GM}{c^2} para M=2M_{\odot} r\approx 2{,}953\\ \mathrm{km} (observação: na Relatividade Geral a órbita de fótons ocorre em r=3GM/c^2\approx 8{,}859\\ \mathrm{km})
(c) r\approx 8{,}87\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=8{,}87\\ \mathrm{mm}

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