O raio de um buraco negro é a distância de seu centro, no qual a velocidade de escape é a da luz.
a) Qual é o raio de um buraco negro com massa 2 vezes a massa do Sol?
b) Em que raio, em relação ao centro do buraco negro, na parte (a), a velocidade orbital seria igual à velocidade da luz?
c) Qual é o raio de um buraco negro com a mesma massa da Terra?
a) Qual é o raio de um buraco negro com massa 2 vezes a massa do Sol?
b) Em que raio, em relação ao centro do buraco negro, na parte (a), a velocidade orbital seria igual à velocidade da luz?
c) Qual é o raio de um buraco negro com a mesma massa da Terra?
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) O raio do buraco negro cujo massa é duas vezes a massa do Sol.
- (b) Para o mesmo buraco negro da parte (a), o raio (distância ao centro) onde a velocidade orbital seria igual à velocidade da luz.
- (c) O raio do buraco negro com a massa da Terra.
Informações e constantes físicas que vou usar (valores numéricos usados nos cálculos; todos em unidades SI):
- Constante gravitacional:
. - Velocidade da luz no vácuo:
. - Massa do Sol:
. - Massa da Terra:
.
O enunciado define o raio do buraco negro como a distância do centro em que a velocidade de escape é a velocidade da luz. Essa definição leva diretamente à fórmula que vamos usar; explico isso no próximo passo.
Passo 2
Derivação e explicação da fórmula do raio (raio de Schwarzschild) a partir da velocidade de escape.
- A fórmula clássica da velocidade de escape a partir de uma massa pontual
a uma distância é
Explicando cada símbolo:
é a velocidade de escape,
é a constante gravitacional,
é a massa que cria o campo gravitacional e
é a distância do centro dessa massa até o ponto considerado.
- Para o raio do buraco negro definimos
. Portanto igualando e resolvendo para :
Essa fórmula
é o raio de Schwarzschild (mesma expressão que se obtém de maneira mais rigorosa na Relatividade Geral para uma massa esférica não carregada e sem rotação). Aqui
é o raio do horizonte de eventos segundo a definição do enunciado.
Passo 3
Cálculo do raio para a massa
(parte a).
- Para
aplicamos - É prático conhecer o raio de Schwarzschild do Sol (usar a mesma fórmula com
):
Vou calcular numericamente
e depois duplicar para
.
Cálculo de
:
Faço passo a passo os expoentes e factores:
- Produto no numerador:
. - Denominador
.
Agora a divisão:
Ou seja,
.
- Para
o raio é o dobro:
Passo 4
Derivação e cálculo do raio onde a velocidade orbital é igual à velocidade da luz (parte b).
- A velocidade orbital circular clássica em torno de uma massa
a uma distância é
Aqui
é a velocidade necessária para uma órbita circular em nova física (Newtoniana).
- Igualando
e resolvendo para :
Observe que esse
é exatamente a metade do raio de Schwarzschild, porque
, logo
- Para o caso
temos
Portanto, segundo a conta clássica, a velocidade orbital seria igual a
a
do centro, o que é metade do horizonte de eventos que encontramos na parte (a).
Comentário físico importante (para não te confundir na prova): essa equação é Newtoniana; na Relatividade Geral a situação muda — não existem órbitas físicas para matéria dentro do horizonte de eventos. Para fótons (luz) a órbita circular (instável) existe na chamada “esfera de fótons” localizada em
No caso
isso dá
Ou seja, se a pergunta quiser o raio onde a luz pode realmente orbitar em GR, o valor correto é
(mas a pergunta pediu onde a velocidade orbital seria igual à velocidade da luz — usei a fórmula clássica e apresentei também a correção relativística).
Passo 5
Cálculo do raio de Schwarzschild para a massa da Terra (parte c).
- Usamos a mesma fórmula
com .
Cálculo numérico:
Fazendo os passos:
- Produto no numerador:
. - Denominador
.
Dividindo:
Isto é,
Portanto, para a massa da Terra o raio do buraco negro seria da ordem de alguns milímetros.
Resposta
(a)
(b) para
dá
(observação: na Relatividade Geral a órbita de fótons ocorre em
)
(c)
(b)
(c)