Raio de giração e aro equivalente: a) Mostre que, para uma rotação em torno de um eixo central, um cilindro maciço de massa
e raio
é equivalente a um aro delgado de massa
e raio
. b) A distância radial a um dado eixo, para a qual toda a massa de um corpo poderia ser considerada concentrada, sem alterar a sua inércia rotacional em relação a este eixo, é denominada raio de giração. Represente por
o raio de giração, e mostre que
. Esta equação fornece o raio do chamado aro equivalente no caso geral. c) Defina raio de giração e aro equivalente com suas próprias palavras.
Passo 1
O enunciado pede para relacionar o momento de inércia de um cilindro maciço de massa
e raio
girando em torno do seu eixo central com o de um aro delgado equivalente e, em seguida, introduzir o conceito geral de raio de giração
. Vamos precisar do valor conhecido do momento de inércia de um cilindro sólido em relação ao seu eixo (
) e da definição de momento de inércia de um aro delgado (
). Depois derivamos a fórmula geral
e definimos com palavras “raio de giração” e “aro equivalente”.
Passo 2
Para achar o aro equivalente, igualamos o momento de inércia do cilindro ao de um aro delgado de massa
e raio
. Sabemos que
e que o momento de inércia de um aro fino é
Portanto impomos
e, cancelando
, obtemos
Passo 3
No caso geral, o raio de giração
é definido como aquela distância radial tal que, se toda a massa
de um corpo fosse concentrada num aro fino de raio
, o momento de inércia em relação ao mesmo eixo não mudaria. Em outras palavras, queremos
Basta isolar
para obter
Passo 4
O raio de giração de um corpo em relação a um eixo é a distância
tal que concentrar toda a massa na periferia de um aro de raio
reproduz o mesmo momento de inércia original. O aro equivalente é justamente esse aro fino de massa
e raio
, que “substitui” o corpo na análise rotacional sem alterar o valor de
.
Resposta
(a) O aro equivalente ao cilindro sólido tem raio
.
(b) O raio de giração satisfaz .
(c) O raio de giração é a distância à qual toda a massa de um corpo pode ser considerada concentrada para manter o mesmo momento de inércia; o aro equivalente é o aro fino de raio igual ao raio de giração e massa igual à do corpo, usado para representar o corpo no cálculo de .
(b) O raio de giração satisfaz
(c) O raio de giração é a distância à qual toda a massa de um corpo pode ser considerada concentrada para manter o mesmo momento de inércia; o aro equivalente é o aro fino de raio igual ao raio de giração e massa igual à do corpo, usado para representar o corpo no cálculo de