Raio de giração e aro equivalente: a) Mostre que, para uma rotação em torno de um eixo central, um cilindro maciço de massa M e raio R é equivalente a um aro delgado de massa M e raio R / raiz2. b) A distância radial a um dado eixo, para a qual toda a massa de um corpo poderia ser considerada concentrada, sem alterar a sua inércia rotacional em relação a este eixo, é denominada raio de giração. Represente por k o raio de giração, e mostre que k=raizI / M. Esta equação fornece o raio do chamado aro equivalente no caso geral. c) Defina raio de giração e aro equivalente com suas próprias palavras.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar o momento de inércia de um cilindro maciço de massa M e raio R girando em torno do seu eixo central com o de um aro delgado equivalente e, em seguida, introduzir o conceito geral de raio de giração k. Vamos precisar do valor conhecido do momento de inércia de um cilindro sólido em relação ao seu eixo ( tfrac12MR^2) e da definição de momento de inércia de um aro delgado ( I=M rrm eq^2). Depois derivamos a fórmula geral k=raizI/M e definimos com palavras “raio de giração” e “aro equivalente”.

Passo 2

Para achar o aro equivalente, igualamos o momento de inércia do cilindro ao de um aro delgado de massa M e raio rrm eq. Sabemos que
Irm cilindro=12,M R^2
e que o momento de inércia de um aro fino é
Irm aro=M,rrm eq^2
Portanto impomos
12,M R^2 = M,rrm eq^2
e, cancelando M, obtemos
rrm eq^2 = R^22 Longrightarrow rrm eq = Rraiz2

Passo 3

No caso geral, o raio de giração k é definido como aquela distância radial tal que, se toda a massa M de um corpo fosse concentrada num aro fino de raio k, o momento de inércia em relação ao mesmo eixo não mudaria. Em outras palavras, queremos
I = M,k^2
Basta isolar k para obter
k^2 = IM Longrightarrow k = raizIM

Passo 4

O raio de giração de um corpo em relação a um eixo é a distância k tal que concentrar toda a massa na periferia de um aro de raio k reproduz o mesmo momento de inércia original. O aro equivalente é justamente esse aro fino de massa M e raio k, que “substitui” o corpo na análise rotacional sem alterar o valor de I.

Resposta

(a) O aro equivalente ao cilindro sólido tem raio rrm eq = R/raiz2.
(b) O raio de giração satisfaz k = raizI/M.
(c) O raio de giração é a distância à qual toda a massa de um corpo pode ser considerada concentrada para manter o mesmo momento de inércia; o aro equivalente é o aro fino de raio igual ao raio de giração e massa igual à do corpo, usado para representar o corpo no cálculo de I.

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