Um satélite descreve uma órbita circular no plano equatorial. Sabendo que a velocidade angular do satélite é o dobro da velocidade angular da Terra, quantas vezes por dia o satélite passará acima de uma cidade situada na linha do Equador, se o seu sentido de rotação for a) igual ou b) contrário ao sentido de rotação da Terra? c) Esboçe gráficos De<a theta times t para as duas situações, considerando De<a theta entre zero e 2 pi rad, e t entre 0 e 24 h .

Passo 1

O enunciado diz que um satélite descreve órbita circular no plano equatorial com velocidade angular omegas igual ao dobro da velocidade angular da Terra omegae. Queremos saber quantas vezes por dia ele passa sobre uma cidade sobre o Equador nos casos a) mesmo sentido de rotação da Terra e b) sentido oposto, além de esboçar os gráficos de De<atheta versus t em cada caso. Para resolver, vamos usar o conceito de velocidade angular relativa e o fato de que uma passagem ocorre sempre que o ângulo relativo De<atheta atinge 2pi.

Passo 2

Calculemos as velocidades angulares:
omegae = 2pi24,h, omegas = 2,omegae = 4pi24,h = 2pi12,h

Passo 3

Caso a) mesmo sentido de rotação da Terra
A velocidade angular relativa é
De<aomega = omegas - omegae = 2omegae - omegae = omegae
O número de passagens por dia é
De<aomega times 24,h2pi = omegae times 242pitimes2pi =1

Passo 4

Caso b) sentido contrário ao da Terra
A velocidade angular relativa é
De<aomega = omegas + omegae = 2omegae + omegae = 3,omegae
O número de passagens por dia é
De<aomega times 24,h2pi = 3omegae times 242pitimes2pi =3

Passo 5

Esboço dos gráficos de De<atheta versus t, sempre tomando De<atheta módulo 2pi:
a) Mesmo sentido:
De<atheta(t)=(omegas-omegae),t=omegae,t,
reta que cresce de (0,0) a (24,h,2pi). Só há um ciclo completo em 24 h.
b) Sentido contrário:
De<atheta(t)=(omegas+omegae),t=3omegae,t,
reta que atinge 2pi em
t=2pi3omegae=2pi3,(2pi/24)=8,h,
depois reinicia em zero. Portanto é um “dente de serra” com três segmentos lineares:
  • de t=0 a 8 h: De<atheta vai de 0 a 2pi,
  • de 8 h a 16 h: novo ciclo de 0 a 2pi,
  • de 16 h a 24 h: terceiro ciclo de 0 a 2pi.

Resposta

a) 1 vez por dia
b) 3 vezes por dia

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