Um raio luminoso parte de um meio de índice de refração n e penetra no ar. Obtenha a expressão para a determinação do ângulo limite acima do qual ocorre reflexão interna total no meio de índice de refração n.

Passo 1

O enunciado dá que um raio luminoso parte de um meio de índice de refração n e penetra no ar. A tarefa é obter a expressão do ângulo limite (ângulo crítico) acima do qual ocorre reflexão interna total no meio de índice n.
Informações relevantes dadas:
  • Índice do meio de incidência: n.
  • Índice do ar (meio de transmissão): 1 (assumido).
  • O ângulo limite é o ângulo de incidência no meio de índice n a partir do qual NÃO existe raio refratado no ar (apenas reflexão interna total).

Passo 2

O que é reflexão interna total (RIT) — explicação didática:
  • Quando a luz vai de um meio mais denso (maior índice) para um meio menos denso (menor índice), a parte refratada se afasta da normal. Ao aumentar o ângulo de incidência, o ângulo de refração aumenta.
  • Existe um valor de incidência a partir do qual o ângulo de refração alcança 90^\circ (o raio refratado corre tangente à superfície). Para ângulos de incidência maiores que esse valor não há solução física para a refração (porque exigiria \sin do ângulo refratado maior que 1) e toda a luz é refletida de volta ao meio mais denso: isso é a reflexão interna total.
  • Logo, o ângulo limite é definido pelo caso em que o ângulo de refração vale 90^\circ.

Passo 3

Apresentando a lei de Snell (fórmula que relaciona os ângulos e índices):
  • A lei de Snell diz que, para um raio que passa do meio 1 para o meio 2,
n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2,
onde:
  • n_1 é o índice do meio de onde o raio parte,
  • n_2 é o índice do meio onde o raio entra,
  • \theta_1 é o ângulo de incidência medido em relação à normal (no meio 1),
  • \theta_2 é o ângulo de refração (no meio 2).
No nosso caso identificamos:
n_1 = n,\qquad n_2 = 1,\qquad \theta_1 = \theta \\ \text{(ângulo no meio \(n\))},\qquad \theta_2 = \theta_{\text{ar}}.â

Passo 4

Condição do ângulo limite:
  • No ângulo limite \theta_{\text{lim}} o raio refratado faz \theta_{\text{ar}}=90^\circ.
  • Substituindo esse valor na lei de Snell obtemos a condição que determina \theta_{\text{lim}}.

Passo 5

Fazer a substituição e resolver algebraicamente:
  • Usando Snell com \theta_1=\theta_{\text{lim}} e \theta_2=90^\circ,
n \sin\theta_{\text{lim}} = 1 \cdot \sin 90^\circ.
  • Sabendo que \sin 90^\circ = 1, fica
n \sin\theta_{\text{lim}} = 1.
  • Isolando \sin\theta_{\text{lim}},
\sin\theta_{\text{lim}} = \dfrac{1}{n}.
  • Tomando arco seno para obter o ângulo,
\theta_{\text{lim}} = \arcsin\!\left(\dfrac{1}{n}\right).

Passo 6

Interpretação, condições e observações práticas:
  • A expressão \theta_{\text{lim}} = \arcsin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) só faz sentido se \dfrac{1}{n}\le 1, ou seja, se n\ge 1. Para que ocorra reflexão interna total é necessário que o raio vá de um meio mais denso para um meio menos denso; portanto é necessário n>1. Se n\le 1 (por exemplo luz saindo do ar para um meio de índice igual ou maior), não ocorre RIT.
  • Lembre-se: todos os ângulos aqui são medidos a partir da normal à superfície; nunca medir em relação à superfície.

Passo 7

Exemplo numérico (para fixar a ideia):
  • Se n=1{,}5 (vidro típico), então
\theta_{\text{lim}} = \arcsin\!\left(\dfrac{1}{1{,}5}\right)=\arcsin\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx 41{,}8^\circ.
  • Isso quer dizer: para ângulos de incidência maiores que \approx 41{,}8^\circ medidos a partir da normal, a luz que tenta sair do vidro para o ar será totalmente refletida de volta para o vidro.

Resposta

\theta_{\text{lim}} = \arcsin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)

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