Um feixe luminoso monocromático no vácuo possui comprimento de onda igual a \lambda_{0}. Obtenha relações:
(a) para a frequência desta onda quando ela se propaga no vácuo;
(b) para a frequência desta onda quando ela se propaga em um meio de índice de refração n;
(c) para o seu comprimento de onda quando ela se propaga no meio citado no item anterior;
(d) para a velocidade de propagação da onda neste meio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • Dado: um feixe monocromático no vácuo com comprimento de onda \lambda_{0}.
  • Dado implícito: a velocidade da luz no vácuo é \,c (constante conhecida).
  • Dado: um meio com índice de refração n no qual a onda pode se propagar.
O enunciado pede quatro relações:
(a) a frequência da onda quando ela se propaga no vácuo;
(b) a frequência da onda quando ela se propaga no meio de índice n;
(c) o comprimento de onda da onda quando ela se propaga nesse meio;
(d) a velocidade de propagação da onda nesse meio.

Passo 2

Conceito chave que vamos usar: relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda. Sempre que uma onda se propaga, a velocidade da onda \,v, a sua frequência \,f e o seu comprimento de onda \,\lambda satisfazem a relação
v = f\,\lambda.
Explicando cada símbolo:
  • \,v é a velocidade de propagação da onda no meio considerado (em \mathrm{m/s});
  • \,f é a frequência (número de oscilações por segundo, em \mathrm{Hz});
  • \,\lambda é o comprimento de onda (distância entre picos consecutivos, em \mathrm{m}).
Essa fórmula decorre do fato de que em um segundo a onda desloca-se uma distância v e nesse tempo ocorrem f oscilações, cada uma ocupando um comprimento \lambda, logo v = f\lambda.

Passo 3

(a) Frequência no vácuo. No vácuo a velocidade de propagação é \,c. Substituindo \,v=c e \,\lambda=\lambda_{0} na relação \,v=f\lambda, obtemos
c = f_{0}\,\lambda_{0}.
Isolando a frequência \,f_{0} (frequência no vácuo):
f_{0}=\frac{c}{\lambda_{0}}.
Interpretação simples: quanto menor \,\lambda_{0}, maior a frequência, porque a luz percorre a mesma velocidade \,c.

Passo 4

Explicação física sobre frequência ao atravessar meios (preparando o item b). Quando uma onda passa de um meio para outro, as condições de contorno na interface exigem que a fase da onda seja contínua no tempo na fronteira; isso implica que a dependência temporal da onda na fronteira deve ter a mesma frequência em ambos os lados. Em termos práticos: a frequência \,f não muda ao atravessar a fronteira entre dois meios homogêneos (caso de reflexão/transmissão linear usual). Portanto, a frequência no meio será igual à frequência no vácuo que entrou nele.

Passo 5

(b) Frequência no meio de índice n. Usando o argumento de continuidade temporal do campo na interface (Passo 4), a frequência no meio \,f é igual à frequência no vácuo \,f_{0}. Assim:
f = f_{0} = \frac{c}{\lambda_{0}}.
Ou seja: a frequência é a mesma antes e depois da entrada no meio; o que muda são velocidade e comprimento de onda.

Passo 6

Definição do índice de refração e velocidade no meio. O índice de refração \,n de um meio é definido por
n = \frac{c}{v},
onde \,v é a velocidade da luz no meio. Isolando \,v,
v = \frac{c}{n}.
Esse é o fundamento para o item (d). Explicando: meios com n>1 fazem a luz viajar mais devagar do que no vácuo.

Passo 7

(c) Comprimento de onda no meio. Agora usamos a relação \,v=f\lambda aplicada ao meio. Substituindo \,v=c/n (Passo 6) e \,f=f_{0}=c/\lambda_{0} (Passo 5), obtemos:
\frac{c}{n} = \left(\frac{c}{\lambda_{0}}\right)\lambda.
Cancelando \,c dos dois lados e isolando \,\lambda:
\lambda = \frac{\lambda_{0}}{n}.
Interpretação: o comprimento de onda no meio fica menor que no vácuo na razão 1/n.

Passo 8

(d) Velocidade no meio. Já deduzimos no Passo 6 a expressão direta a partir da definição de índice de refração:
v = \frac{c}{n}.
Resumo físico: ao entrar no meio com índice n a frequência permanece \,f_{0}, o comprimento de onda reduz para \lambda_{0}/n e a velocidade reduz para c/n, tudo consistente com v=f\lambda.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, mas ajuda a visualizar). Seja \lambda_{0}=600\\ \mathrm{nm} e n=1{,}5.
  • Frequência: \,f=\dfrac{c}{\lambda_{0}} (por exemplo \,c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}) → \,f\approx 5{,}00\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Comprimento no meio: \,\lambda=\dfrac{600\\ \mathrm{nm}}{1{,}5}=400\\ \mathrm{nm}.
  • Velocidade no meio: \,v=\dfrac{c}{1{,}5}\approx 2{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    Isso mostra explicitamente a manutenção da frequência e a redução de \lambda e v.

Resposta

(a) \displaystyle f_{0}=\frac{c}{\lambda_{0}}
(b) \displaystyle f=\frac{c}{\lambda_{0}}
(c) \displaystyle \lambda=\frac{\lambda_{0}}{n}
(d) \displaystyle v=\frac{c}{n}

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