Um feixe luminoso monocromático no vácuo possui comprimento de onda igual a
. Obtenha relações:
(a) para a frequência desta onda quando ela se propaga no vácuo;
(b) para a frequência desta onda quando ela se propaga em um meio de índice de refração
;
(c) para o seu comprimento de onda quando ela se propaga no meio citado no item anterior;
(d) para a velocidade de propagação da onda neste meio.
(a) para a frequência desta onda quando ela se propaga no vácuo;
(b) para a frequência desta onda quando ela se propaga em um meio de índice de refração
(c) para o seu comprimento de onda quando ela se propaga no meio citado no item anterior;
(d) para a velocidade de propagação da onda neste meio.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
- Dado: um feixe monocromático no vácuo com comprimento de onda
. - Dado implícito: a velocidade da luz no vácuo é
(constante conhecida). - Dado: um meio com índice de refração
no qual a onda pode se propagar.
O enunciado pede quatro relações:
(a) a frequência da onda quando ela se propaga no vácuo;
(b) a frequência da onda quando ela se propaga no meio de índice ;
(c) o comprimento de onda da onda quando ela se propaga nesse meio;
(d) a velocidade de propagação da onda nesse meio.
(a) a frequência da onda quando ela se propaga no vácuo;
(b) a frequência da onda quando ela se propaga no meio de índice
(c) o comprimento de onda da onda quando ela se propaga nesse meio;
(d) a velocidade de propagação da onda nesse meio.
Passo 2
Conceito chave que vamos usar: relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda. Sempre que uma onda se propaga, a velocidade da onda
, a sua frequência
e o seu comprimento de onda
satisfazem a relação
Explicando cada símbolo:
-
é a velocidade de propagação da onda no meio considerado (em ); -
é a frequência (número de oscilações por segundo, em ); -
é o comprimento de onda (distância entre picos consecutivos, em ).
Essa fórmula decorre do fato de que em um segundo a onda desloca-se uma distância
e nesse tempo ocorrem
oscilações, cada uma ocupando um comprimento
, logo
.
Passo 3
(a) Frequência no vácuo. No vácuo a velocidade de propagação é
. Substituindo
e
na relação
, obtemos
Isolando a frequência
(frequência no vácuo):
Interpretação simples: quanto menor
, maior a frequência, porque a luz percorre a mesma velocidade
.
Passo 4
Explicação física sobre frequência ao atravessar meios (preparando o item b). Quando uma onda passa de um meio para outro, as condições de contorno na interface exigem que a fase da onda seja contínua no tempo na fronteira; isso implica que a dependência temporal da onda na fronteira deve ter a mesma frequência em ambos os lados. Em termos práticos: a frequência
não muda ao atravessar a fronteira entre dois meios homogêneos (caso de reflexão/transmissão linear usual). Portanto, a frequência no meio será igual à frequência no vácuo que entrou nele.
Passo 5
(b) Frequência no meio de índice
. Usando o argumento de continuidade temporal do campo na interface (Passo 4), a frequência no meio
é igual à frequência no vácuo
. Assim:
Ou seja: a frequência é a mesma antes e depois da entrada no meio; o que muda são velocidade e comprimento de onda.
Passo 6
Definição do índice de refração e velocidade no meio. O índice de refração
de um meio é definido por
onde
é a velocidade da luz no meio. Isolando
,
Esse é o fundamento para o item (d). Explicando: meios com
fazem a luz viajar mais devagar do que no vácuo.
Passo 7
(c) Comprimento de onda no meio. Agora usamos a relação
aplicada ao meio. Substituindo
(Passo 6) e
(Passo 5), obtemos:
Cancelando
dos dois lados e isolando
:
Interpretação: o comprimento de onda no meio fica menor que no vácuo na razão
.
Passo 8
(d) Velocidade no meio. Já deduzimos no Passo 6 a expressão direta a partir da definição de índice de refração:
Resumo físico: ao entrar no meio com índice
a frequência permanece
, o comprimento de onda reduz para
e a velocidade reduz para
, tudo consistente com
.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, mas ajuda a visualizar). Seja
e
.
- Frequência:
(por exemplo ) → . - Comprimento no meio:
. - Velocidade no meio:
.
Isso mostra explicitamente a manutenção da frequência e a redução dee .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)