Um raio de luz atravessando a água incide sobre uma interface com um pedaço de vidro plano. O comprimento de onda da luz na água é 726 nm e seu comprimento de onda no vidro é 544 nm . Se o raio na água forma um ângulo de 56^{\circ} com a normal à interface, que ângulo o raio refratado no vidro forma com a normal?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Comprimento de onda na água: \lambda_{\text{água}} = 726\\ \text{nm}á.
  • Comprimento de onda no vidro: \lambda_{\text{vidro}} = 544\\ \text{nm}.
  • Ângulo do raio na água com a normal: \theta_{1} = 56^\circ.
O que é pedido:
  • Determinar o ângulo \theta_{2} que o raio refratado no vidro forma com a normal à interface.

Passo 2

Conceitos importantes (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Frequência: quando uma onda atravessa a fronteira entre dois meios, a frequência f da luz permanece a mesma em ambos os meios. Isso vem da continuidade temporal do campo eletromagnético na interface.
  • Velocidade, frequência e comprimento de onda: a relação básica é
v = f\,\lambda,
onde v é a velocidade da luz no meio, f a frequência e \lambda o comprimento de onda no meio.
  • Índice de refração: o índice de refração n de um meio compara a velocidade da luz no vácuo c com a velocidade no meio v:
n=\frac{c}{v}.
Usando v=f\lambda e c=f\lambda_0 (onde \lambda_0 é o comprimento de onda no vácuo), obtemos
n=\frac{\lambda_0}{\lambda}.
Assim, o índice de refração é inversamente proporcional ao comprimento de onda no meio (para a mesma frequência).

Passo 3

Relação entre índices usando os comprimentos de onda dados:
  • Para água (meio 1) e vidro (meio 2) vale
\frac{n_{\text{vidro}}}{n_{\text{água}}}=\frac{\lambda_0/\lambda_{\text{vidro}}}{\lambda_0/\lambda_{\text{água}}}=\frac{\lambda_{\text{água}}}{\lambda_{\text{vidro}}}.ááá
Ou seja, não é necessário conhecer \lambda_0; a razão dos índices é a razão inversa dos comprimentos de onda fornecidos.

Passo 4

Lei de Snell (a regra para refracção):
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2,
onde n_1=n_{\text{água}}á, n_2=n_{\text{vidro}}, \theta_1 é o ângulo incidente na água e \theta_2 o ângulo refratado no vidro. Isolando \sin\theta_2,
\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1.
Usando a relação entre índices obtida no passo anterior,
\frac{n_1}{n_2}=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{vidro}}}=\frac{\lambda_{\text{vidro}}}{\lambda_{\text{água}}}.áá
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
\sin\theta_2 = \frac{\lambda_{\text{vidro}}}{\lambda_{\text{água}}}\,\sin\theta_1.á

Passo 5

Substituição numérica e cálculo:
  • Primeiro a razão dos comprimentos de onda:
\frac{\lambda_{\text{vidro}}}{\lambda_{\text{água}}}=\frac{544}{726}=\frac{272}{363}\approx 0,749316.á
  • Valor de \sin\theta_1 para \theta_1=56^\circ:
\sin 56^\circ \approx 0,829038.
  • Agora calculamos \sin\theta_2:
\sin\theta_2 \approx 0,749316\times 0,829038 \approx 0,621211.

Passo 6

Determinação do ângulo \theta_2:
  • Tomando arco-seno,
\theta_2 = \arcsin(0,621211) \approx 38{,}4^\circ.
Interpretação rápida (motivação para lembrar na prova): o ângulo refratado é menor porque o vidro tem índice maior que a água (a luz “anda mais devagar” no vidro), então a luz se aproxima mais da normal.

Resposta

38{,}4^\circ

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