Dois automóveis aproximam-se um do outro com velocidades de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, respectivamente. Quando estão separados por 280 m , ambos os motoristas percebem a situação e acionam os freios. Eles param exatamente ao mesmo tempo, instantes antes de colidir. Sabendo que a desaceleração de cada carro é constante, determine a distância percorrida por cada um durante a frenagem.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas do texto do problema):
  • Dois automóveis aproximam-se um do outro com velocidades v_1=40\\ \mathrm{m/s} e v_2=30\\ \mathrm{m/s}.
  • A separação inicial entre eles é 280\\ \mathrm{m}.
  • Ambos acionam os freios ao mesmo instante, têm desacelerações constantes e param exatamente ao mesmo tempo, instantes antes de colidir.
    O que o problema pede:
  • Determinar a distância percorrida por cada automóvel durante a frenagem (isto é, as distâncias d_1 e d_2 percorridas por quem vinha a 40\\ \mathrm{m/s} e por quem vinha a 30\\ \mathrm{m/s}, respectivamente).

Passo 2

Relembrando as fórmulas de cinemática com aceleração constante (úteis aqui):
  • Relação velocidade-tempo:
v = v_0 + a t
onde v é a velocidade final, v_0 a velocidade inicial, a a aceleração (negativa para desaceleração) e t o tempo.
  • Equação do deslocamento:
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
onde s é o deslocamento no intervalo de tempo t.
Explicando cada símbolo de forma simples:
  • v_0: velocidade com que o carro começa a frear (aqui 40 ou 30\\ \mathrm{m/s}).
  • a: aceleração (com sinal); na frenagem podemos escrever a magnitude da desaceleração como a>0 e usar a_{\text{real}}=-a.
  • t: tempo gasto até parar.
  • s: distância percorrida durante o tempo t.

Passo 3

Aplicando a condição “parar” (velocidade final nula) para um carro com velocidade inicial v_0 e desaceleração de magnitude a (portanto aceleração real -a):
Da fórmula v = v_0 + a_{\text{real}} t com v=0 e a_{\text{real}}=-a segue
0 = v_0 - a t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{v_0}{a}.
Substituindo esse t na equação do deslocamento
s = v_0 t + \tfrac{1}{2}(-a)t^2
obtém-se
s = v_0 t - \tfrac{1}{2} a t^2 = \tfrac{1}{2} v_0 t.
Portanto, para uma frenagem em que o carro parte de v_0 e leva tempo t para parar, a distância de parada é
s=\tfrac{1}{2} v_0 t.
Isso vale para cada carro separadamente, desde que se use o mesmo t (aqui os dois param exatamente ao mesmo tempo).

Passo 4

Chame o tempo comum de parada de t. Então as distâncias de frenagem são
d_1=\tfrac{1}{2} v_1 t,\qquad d_2=\tfrac{1}{2} v_2 t,
com v_1=40\\ \mathrm{m/s} e v_2=30\\ \mathrm{m/s}. Como eles param instantes antes de colidir, as distâncias somam a separação inicial:
d_1+d_2=280\\ \mathrm{m}.
Substituindo as expressões de d_1 e d_2:
\tfrac{1}{2}(v_1+v_2)t = 280.

Passo 5

Resolver para t:
t = \frac{2\cdot 280}{v_1+v_2} = \frac{560}{40+30} = \frac{560}{70} = 8\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Calcular as distâncias usando t=8\\ \mathrm{s}:
d_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 40 \cdot 8 = 20\cdot 8 = 160\\ \mathrm{m},
d_2 = \tfrac{1}{2}\cdot 30 \cdot 8 = 15\cdot 8 = 120\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: 160+120=280\\ \mathrm{m}, ok.

Passo 7

(Comentário auxiliar — não pedido, mas útil) As magnitudes das desacelerações podem ser encontradas por a_1=v_1/t e a_2=v_2/t:
a_1=\frac{40}{8}=5\\ \mathrm{m/s^2},\qquad a_2=\frac{30}{8}=3{,}75\\ \mathrm{m/s^2}.
Isso confirma que ambas as frenagens são compatíveis com o mesmo tempo de parada.

Resposta

d_1 = 160\\ \mathrm{m}
d_2 = 120\\ \mathrm{m}

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