O período de um planeta que se move em uma órbita circular depende do raio da órbita r, da massa da estrela central m e da constante de gravitação universal G.
Sabendo que G é a constante de gravitação universal, determine uma fórmula empírica para o período orbital T utilizando análise dimensional.
Dica: Considere que o período pode ser escrito na forma
T=k m^{x} r^{y} G^{z},
onde k é uma constante adimensional e x, y e z são expoentes reais a serem determinados.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre, por análise dimensional, uma fórmula empírica para o período orbital T de um planeta em órbita circular, assumindo que T depende apenas de r (raio da órbita), m (massa da estrela central) e G (constante gravitacional). O enunciado sugere a forma
T = k\, m^{x} r^{y} G^{z},
onde k é uma constante adimensional e x,y,z são expoentes reais a determinar.
Informações dadas (resumindo):
  • A dependência funcional procurada é T = k\, m^{x} r^{y} G^{z}.
  • k é adimensional.
  • Precisamos encontrar x, y e z usando análise dimensional.

Passo 2

Ideia da análise dimensional (mini-aula rápida e prática): cada grandeza tem dimensões fundamentais (massa, comprimento, tempo). Quando duas expressões representam a mesma grandeza física, as dimensões devem coincidir. Aqui o período T tem dimensão de tempo; os outros termos têm dimensões que vamos igualar para determinar os expoentes.
Dimensões das quantidades (colocando entre parênteses o que cada símbolo representa):
  • Período: \,[T] = T\, (somente tempo).
  • Massa: \,[m] = M\,.
  • Raio (comprimento): \,[r] = L\,.
  • Constante gravitacional: \,[G] = L^{3} M^{-1} T^{-2}\,.
    Explicação curta de [G]: pela lei da gravitação F = G m_1 m_2 / r^2, força tem dimensão M L T^{-2}; isolando G obtém-se [G] = [F] [r^2] [m^{-2}] = (M L T^{-2}) L^{2} M^{-2} = L^{3} M^{-1} T^{-2}.

Passo 3

Agora escrevemos as dimensões do lado direito da forma proposta e as simplificamos. Para
T = k\, m^{x} r^{y} G^{z},
como k é adimensional, as dimensões do lado direito são simplesmente as de m^{x} r^{y} G^{z}. Substituindo as dimensões:
[m^{x} r^{y} G^{z}] = M^{x}\, L^{y}\, \bigl(L^{3} M^{-1} T^{-2}\bigr)^{z}.
Elevando o parêntese ao expoente z e juntando potências de cada dimensão,
[m^{x} r^{y} G^{z}] = M^{x}\, L^{y}\, L^{3z}\, M^{-z}\, T^{-2z} = M^{\,x-z}\, L^{\,y+3z}\, T^{-2z}.

Passo 4

As dimensões do lado esquerdo são [T] = T^{1} M^{0} L^{0}. Igualamos expoentes de M, L e T entre os dois lados para obter um sistema linear para x,y,z:
  • Expoente de M: \;x - z = 0.
  • Expoente de L: \;y + 3z = 0.
  • Expoente de T: -2z = 1.
Esse sistema vem diretamente da exigência de que as potências de cada dimensão coincidam.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da equação temporal -2z = 1, isolamos z:
z = -\tfrac{1}{2}.
  1. Da equação de massa x - z = 0 temos x = z. Substituindo o valor de z,
x = -\tfrac{1}{2}.
  1. Da equação de comprimento y + 3z = 0 obtemos y = -3z. Substituindo z = -\tfrac{1}{2},
y = -3\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{3}{2}.
Portanto os expoentes são \;x = -\tfrac{1}{2},\; y = \tfrac{3}{2},\; z = -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo os expoentes encontrados na expressão proposta, obtemos a fórmula empírica (até a constante adimensional k):
T = k\, m^{-1/2} r^{3/2} G^{-1/2}.
É mais legível escrever em forma de raiz:
T = k\,\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G\,m}}.
Interpretação e dica prática para prova: a análise dimensional não determina o valor numérico de k — apenas a dependência com r,m,G. No caso físico do movimento circular sob gravitação newtoniana, uma dedução completa (usando força centrípeta m v^{2}/r igual à força gravitacional G M m / r^{2} e v = 2\pi r / T) mostra que k=2\pi. Assim a lei de Kepler para órbitas circulares fica
T = 2\pi\,\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G\,m}}.
Mas lembrando: por análise dimensional pura o que se garante é a forma com a raiz e os expoentes; o fator 2\pi vem da solução dinâmica completa.

Resposta

T = k\,\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G\,m}}

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