O período de um planeta que se move em uma órbita circular depende do raio da órbita
, da massa da estrela central
e da constante de gravitação universal
.
Sabendo que
é a constante de gravitação universal, determine uma fórmula empírica para o período orbital
utilizando análise dimensional.
Dica: Considere que o período pode ser escrito na forma
onde
é uma constante adimensional e
e
são expoentes reais a serem determinados.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre, por análise dimensional, uma fórmula empírica para o período orbital
de um planeta em órbita circular, assumindo que
depende apenas de
(raio da órbita),
(massa da estrela central) e
(constante gravitacional). O enunciado sugere a forma
onde
é uma constante adimensional e
são expoentes reais a determinar.
Informações dadas (resumindo):
Informações dadas (resumindo):
- A dependência funcional procurada é
. -
é adimensional. - Precisamos encontrar
, e usando análise dimensional.
Passo 2
Ideia da análise dimensional (mini-aula rápida e prática): cada grandeza tem dimensões fundamentais (massa, comprimento, tempo). Quando duas expressões representam a mesma grandeza física, as dimensões devem coincidir. Aqui o período
tem dimensão de tempo; os outros termos têm dimensões que vamos igualar para determinar os expoentes.
Dimensões das quantidades (colocando entre parênteses o que cada símbolo representa):
- Período:
(somente tempo). - Massa:
. - Raio (comprimento):
. - Constante gravitacional:
.
Explicação curta de: pela lei da gravitação , força tem dimensão ; isolando obtém-se .
Passo 3
Agora escrevemos as dimensões do lado direito da forma proposta e as simplificamos. Para
como
é adimensional, as dimensões do lado direito são simplesmente as de
. Substituindo as dimensões:
Elevando o parêntese ao expoente
e juntando potências de cada dimensão,
Passo 4
As dimensões do lado esquerdo são
. Igualamos expoentes de
,
e
entre os dois lados para obter um sistema linear para
:
- Expoente de
: . - Expoente de
: . - Expoente de
: .
Esse sistema vem diretamente da exigência de que as potências de cada dimensão coincidam.
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo:
- Da equação temporal
, isolamos :
- Da equação de massa
temos . Substituindo o valor de ,
- Da equação de comprimento
obtemos . Substituindo ,
Portanto os expoentes são
Passo 6
Substituindo os expoentes encontrados na expressão proposta, obtemos a fórmula empírica (até a constante adimensional
):
É mais legível escrever em forma de raiz:
Interpretação e dica prática para prova: a análise dimensional não determina o valor numérico de
— apenas a dependência com
. No caso físico do movimento circular sob gravitação newtoniana, uma dedução completa (usando força centrípeta
igual à força gravitacional
e
) mostra que
. Assim a lei de Kepler para órbitas circulares fica
Mas lembrando: por análise dimensional pura o que se garante é a forma com a raiz e os expoentes; o fator
vem da solução dinâmica completa.