Um raio de luz monocromática se propaga num líquido de índice de refração √{2} e atinge a superfície que separa o líquido do ar, segundo um ângulo de incidência i. O índice de refração do ar é igual a 1 . Verifique se há refração ou reflexão total nos casos:
a) i=30^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação clara do que acontece para i=30^\circ.
  • Índice de refração do líquido: n_{\text{líq}}=\sqrt{2}í.
  • Índice de refração do ar: n_{\text{ar}}=1.
  • Ângulo de incidência (no líquido, medido em relação à normal): i=30^\circ.
  • Pergunta: para esse valor de i, ocorre refração (raio transmitido no ar) ou ocorre reflexão total interna (R.T.I.)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (bem mastigados):
  1. Lei de Snell (para refração entre dois meios):
n_1\sin i = n_2\sin r,
onde:
  • n_1 é o índice do meio de onde o raio vem (aqui o líquido: n_1=\sqrt{2}),
  • i é o ângulo de incidência (medido em relação à normal),
  • n_2 é o índice do meio para onde o raio vai (aqui o ar: n_2=1),
  • r é o ângulo de refração no segundo meio.
  1. Ângulo crítico para reflexão total interna (quando n_1>n_2):
    Reflexão total interna ocorre se o ângulo de incidência i for maior que um ângulo crítico \theta_c dado por
\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}.
Explicação: ao aumentar i mantendo n_1 e n_2 fixos, o seno de r calculado pela lei de Snell pode ultrapassar 1 — isso não é fisicamente possível; esse é o limite que define \theta_c. Para i>\theta_c não existe r real e toda a energia é refletida (R.T.I.). Note que só faz sentido falar em ângulo crítico se n_1>n_2.

Passo 3

Verificar se as condições para reflexão total interna são possíveis aqui:
  • Calculamos a relação entre índices: n_{\text{líq}}=\sqrt{2}í e n_{\text{ar}}=1. Como \sqrt{2}>1, temos n_1>n_2 e, portanto, reflexão total interna pode ocorrer para ângulos de incidência suficientemente grandes. Logo faz sentido calcular o ângulo crítico.

Passo 4

Calcular o ângulo crítico \theta_c usando
\sin\theta_c=\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{líq}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.í
Agora reconhecemos que \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cujo arco seno é 45^\circ. Assim,
\theta_c=45^\circ.
Interpretação: para i>45^\circ ocorre reflexão total interna; para i<45^\circ existe um raio refratado no ar.

Passo 5

Comparar o ângulo dado com o ângulo crítico:
  • Dado i=30^\circ.
  • Como 30^\circ<45^\circ, concluímos que não ocorre reflexão total interna para esse i. Portanto haverá refração (além da reflexão parcial que sempre existe em superfícies com mudança de índice, mas não reflexão total).

Passo 6

Calcular explicitamente o ângulo refratado r no ar usando a lei de Snell para fixar bem o resultado:
Aplicando
n_{\text{líq}}\sin i = n_{\text{ar}}\sin r,í
temos
\sin r = \frac{n_{\text{líq}}}{n_{\text{ar}}}\sin i = \sqrt{2}\,\sin 30^\circ.í
Sabemos que \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, então
\sin r = \sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
O arco seno de \dfrac{\sqrt{2}}{2} é 45^\circ. Logo
r=45^\circ.
Observação didática: aqui ficou bonito: um raio que incide a 30^\circ no líquido sai refratado no ar a 45^\circ.

Resposta

Refração ocorre (não há reflexão total interna). Ângulo refratado r=45^\circ.

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