O raio médio da Terra é de 6,4 \times 10^{6} \mathrm{~m} e a luz solar incide na alta atmosfera terrestre à razão de 1400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. (a) Calcule a potência total da luz solar que é interceptada pela Terra. (b) Calcule os valores máximos E_{m} e B_{m} do campo elétrico e magnético, respectivamente, para a luz solar, supondo-se que ela seja uma onda plana e que atinja perpendicularmente a atmosfera.

Passo 1

O enunciado informa que o raio médio da Terra é R=6,4\times10^{6}\,\mathrm{m} e que a intensidade da luz solar incidente na alta atmosfera é I=1400\,\mathrm{W/m^{2}}. Parte (a) pede a potência total interceptada pela Terra, que é dada por P=I\times A, onde A é a área do disco de raio R. Na parte (b) queremos as amplitudes E_{m} e B_{m} do campo elétrico e magnético de uma onda plana cuja intensidade média é I. Para isso usamos
I=\frac{1}{2}\,\epsilon_{0}\,c\,E_{m}^{2}
e depois
B_{m}=\frac{E_{m}}{c}.

Passo 2

Calculamos a área do disco de raio R. Como A=\pi R^{2},
A = \pi\,(6,4\times10^{6}\,\mathrm{m})^{2} =\pi\times4,096\times10^{13}\,\mathrm{m^{2}} \approx1,29\times10^{14}\,\mathrm{m^{2}}.

Passo 3

A potência total interceptada é
P = I \times A =1400\,\mathrm{W/m^{2}}\times1,29\times10^{14}\,\mathrm{m^{2}} \approx1,80\times10^{17}\,\mathrm{W}.

Passo 4

Agora relacionamos a intensidade média I com a amplitude do campo elétrico E_{m}. Sabendo que
I=\frac{1}{2}\,\epsilon_{0}\,c\,E_{m}^{2},
isolamos E_{m}:
E_{m}=\sqrt{\frac{2I}{\epsilon_{0}\,c}}.

Passo 5

Usando \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e c=3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}, temos
E_{m} =\sqrt{\frac{2\times1400}{8{,}85\times10^{-12}\times3{,}0\times10^{8}}} \approx1,03\times10^{3}\,\mathrm{V/m}.
Em seguida
B_{m}=\frac{E_{m}}{c} \approx\frac{1,03\times10^{3}\,\mathrm{V/m}}{3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}} \approx3,4\times10^{-6}\,\mathrm{T}.

Resposta

(a) P\approx1,80\times10^{17}\,\mathrm{W}.
(b) E_{m}\approx1,03\times10^{3}\,\mathrm{V/m} e B_{m}\approx3,4\times10^{-6}\,\mathrm{T}.

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