Um cabo coaxial, longo e retilíneo, é feito de um fio central de raio
, envolto por um tubo fino de metal de raio
. Faz-se vácuo no espaço entre os condutores. (a) Determinar a capacitância por unidade de comprimento desse cabo coaxial. (Sugestão: imaginar cargas de mesmo módulo e sinais opostos no fio e no tubo.) (b) Determinar a indutância por unidade de comprimento deste cabo coaxial. (Sugestão: imaginar uma corrente
atravessando o fio central e voltando ao longo do tubo.) (c) Considerando que este cabo coaxial possui capacitância e indutância, simultaneamente, seria possível ele ter uma freqüência de ressonância (
) por unidade de comprimento? Verifique que isso não pode ocorrer.
-
Disponível em http://www.dfi.uem.br/~psantoro/bimestre_3/
Disponível em http://www.dfi.uem.br/~psantoro/bimestre_3/
Passo 1
O enunciado trata de um cabo coaxial com condutor interno de raio
e condutor externo fino de raio
, separados por vácuo. Precisamos encontrar (a) a capacitância por unidade de comprimento
, usando a lei de Gauss e definição de capacitância; (b) a indutância por unidade de comprimento
, usando a lei de Ampère e fluxo de campo magnético; e (c) verificar se existe uma frequência de ressonância própria por unidade de comprimento, isto é, se faz sentido
.
Passo 2
Para achar
, colocamos carga linear
no fio interno e
no tubo externo.
Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico entre é
Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico entre
A diferença de potencial entre os condutores é
Como
, segue
Passo 3
Para achar
, fazemos a corrente
no fio interno e retorno
no tubo. Pelo teorema de Ampère, o campo magnético azimutal em
é
O fluxo de
por unidade de comprimento que envolve o condutor interno é
Como
, obtemos
Passo 4
Se tentássemos definir uma frequência de ressonância local por unidade de comprimento, usaríamos
Mas esse valor tem unidades de velocidade (é exatamente a velocidade da luz no vácuo) e não de frequência. Ou seja, não faz sentido falar de ressonância por unidade de comprimento num cabo infinito: ele é uma linha de transmissão, não um oscilador discreto.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Não existe frequência própria de ressonância por unidade de comprimento, pois tem unidades de velocidade e corresponde à velocidade de propagação das ondas no cabo, e não a uma frequência de ressonância.
(b)
(c) Não existe frequência própria de ressonância por unidade de comprimento, pois