Um cabo coaxial, longo e retilíneo, é feito de um fio central de raio a, envolto por um tubo fino de metal de raio b. Faz-se vácuo no espaço entre os condutores. (a) Determinar a capacitância por unidade de comprimento desse cabo coaxial. (Sugestão: imaginar cargas de mesmo módulo e sinais opostos no fio e no tubo.) (b) Determinar a indutância por unidade de comprimento deste cabo coaxial. (Sugestão: imaginar uma corrente i atravessando o fio central e voltando ao longo do tubo.) (c) Considerando que este cabo coaxial possui capacitância e indutância, simultaneamente, seria possível ele ter uma freqüência de ressonância ( \omega_{0} ) por unidade de comprimento? Verifique que isso não pode ocorrer.

  1. { }^{1} Disponível em http://www.dfi.uem.br/~psantoro/bimestre_3/

Passo 1

O enunciado trata de um cabo coaxial com condutor interno de raio a e condutor externo fino de raio b, separados por vácuo. Precisamos encontrar (a) a capacitância por unidade de comprimento C', usando a lei de Gauss e definição de capacitância; (b) a indutância por unidade de comprimento L', usando a lei de Ampère e fluxo de campo magnético; e (c) verificar se existe uma frequência de ressonância própria por unidade de comprimento, isto é, se faz sentido \omega_0=1/\sqrt{L'C'}.

Passo 2

Para achar C', colocamos carga linear +\lambda no fio interno e -\lambda no tubo externo.
Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico entre a<r<b é
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \,\varepsilon_0\,r}\,.
A diferença de potencial entre os condutores é
\Delta V = \int_{a}^{b} E(r)\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon_0}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r} = \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon_0}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).
Como C'=\dfrac{\lambda}{\Delta V}, segue
C' = \frac{2\pi\,\varepsilon_0}{\ln(b/a)}.

Passo 3

Para achar L', fazemos a corrente I no fio interno e retorno -I no tubo. Pelo teorema de Ampère, o campo magnético azimutal em a<r<b é
B(r) = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}.
O fluxo de B por unidade de comprimento que envolve o condutor interno é
\Phi = \int_{a}^{b} B(r)\,dr = \frac{\mu_0\,I}{2\pi}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r} = \frac{\mu_0\,I}{2\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).
Como L'=\Phi/I, obtemos
L' = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).

Passo 4

Se tentássemos definir uma frequência de ressonância local por unidade de comprimento, usaríamos
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L'\,C'}} = \frac{1}{\sqrt{\displaystyle \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\!\tfrac{b}{a}\;\times\;\frac{2\pi\,\varepsilon_0}{\ln\!\tfrac{b}{a}}}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}}.
Mas esse valor tem unidades de velocidade (é exatamente a velocidade da luz no vácuo) e não de frequência. Ou seja, não faz sentido falar de ressonância por unidade de comprimento num cabo infinito: ele é uma linha de transmissão, não um oscilador discreto.

Resposta

(a) \displaystyle C'=\frac{2\pi\,\varepsilon_0}{\ln(b/a)}.
(b) \displaystyle L'=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln(b/a).
(c) Não existe frequência própria de ressonância por unidade de comprimento, pois \omega_0=1/\sqrt{L'C'}=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} tem unidades de velocidade e corresponde à velocidade de propagação das ondas no cabo, e não a uma frequência de ressonância.

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